Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. En este caso, todos los bordes serán paralelogramos.
Cada paralelepípedo puede considerarse como un prisma de tres formas distintas, ya que cada dos caras opuestas pueden tomarse como bases (en la Fig. 5, las caras ABCD y A"B"C"D", o ABA"B" y CDC"D ", o BCB "C" y ADA"D").
El cuerpo en cuestión tiene doce aristas, cuatro iguales y paralelas entre sí.
Teorema 3 . Las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto, coincidiendo con la mitad de cada una de ellas.
El paralelepípedo ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) tiene cuatro diagonales AC", BD", CA", DB". Debemos demostrar que los puntos medios de dos de ellos, por ejemplo AC y BD", coinciden. Esto se desprende del hecho de que la figura ABC"D", que tiene lados iguales y paralelos AB y C"D", es un paralelogramo.
Definición 7 . Un paralelepípedo recto es un paralelepípedo que también es un prisma recto, es decir, un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares al plano de la base.
Definición 8 . Un paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo. En este caso todas sus caras serán rectángulos.
Un paralelepípedo rectangular es un prisma recto, no importa cuál de sus caras tomemos como base, ya que cada una de sus aristas es perpendicular a las aristas que emergen de un mismo vértice, y será, por tanto, perpendicular a los planos de las caras definidas. por estos bordes. Por el contrario, un paralelepípedo recto, pero no rectangular, sólo puede considerarse un prisma recto de una manera.
Definición 9 . Las longitudes de tres aristas de un paralelepípedo rectangular, de las cuales no hay dos paralelas entre sí (por ejemplo, tres aristas que emergen del mismo vértice), se denominan dimensiones. Dos paralelepípedos rectangulares que tienen dimensiones correspondientemente iguales son evidentemente iguales entre sí.
Definición 10 .Un cubo es un paralelepípedo rectangular cuyas tres dimensiones son iguales, de modo que todas sus caras son cuadradas. Dos cubos cuyas aristas son iguales son iguales.
Definición 11 . Un paralelepípedo inclinado en el que todas las aristas son iguales entre sí y los ángulos de todas las caras son iguales o complementarios se llama romboedro.
Todas las caras de un romboedro son rombos iguales. (Algunos cristales de gran importancia tienen forma de romboedro, por ejemplo, los cristales de espato de Islandia). En un romboedro se puede encontrar un vértice (e incluso dos vértices opuestos) tal que todos los ángulos adyacentes a él sean iguales entre sí.
Teorema 4 . Las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales entre sí. El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones.
En el paralelepípedo rectangular ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), las diagonales AC" y BD" son iguales, ya que el cuadrilátero ABC"D" es un rectángulo (la recta AB es perpendicular al plano ECB" C", en el que se encuentra BC") .
Además, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 basado en el teorema sobre el cuadrado de la hipotenusa. Pero basado en el mismo teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; por lo tanto, tener:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

O (equivalentemente) un poliedro, que tiene seis caras y cada una de ellas - paralelogramo.

Tipos de paralelepípedo

Existen varios tipos de paralelepípedos:

• Un cuboide es un paralelepípedo cuyas caras son todas rectángulos.
• Un paralelepípedo recto es un paralelepípedo con 4 caras laterales que son rectángulos.
• Un paralelepípedo inclinado es un paralelepípedo cuyas caras laterales no son perpendiculares a las bases.

Elementos esenciales

Dos caras de un paralelepípedo que no tienen una arista común se llaman opuestas, y las que tienen una arista común, se llaman adyacentes. Dos vértices de un paralelepípedo que no pertenecen a la misma cara se llaman opuestos. El segmento que une los vértices opuestos se llama diagonal del paralelepípedo. Las longitudes de tres aristas de un paralelepípedo rectangular que tienen un vértice común se llaman dimensiones.

Propiedades

• El paralelepípedo es simétrico respecto a la mitad de su diagonal.
• Cualquier segmento cuyos extremos pertenezcan a la superficie del paralelepípedo y pasen por la mitad de su diagonal se divide por la mitad por éste; en particular, todas las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto y son atravesadas por él.
• Las caras opuestas de un paralelepípedo son paralelas e iguales.
• El cuadrado de la longitud diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones.

Fórmulas básicas

paralelepípedo derecho

Superficie lateral S b =P o *h, donde P o es el perímetro de la base, h es la altura

Superficie total S p =S b +2S o, donde S o es el área base

Volumen V=S o *h

Paralelepípedo rectangular

Superficie lateral S b =2c(a+b), donde a, b son los lados de la base, c es el borde lateral del paralelepípedo rectangular

Superficie total S p =2(ab+bc+ac)

Volumen V=abc, donde a, b, c son las dimensiones de un paralelepípedo rectangular.

Cubo

Área de superficie: $S=6a^2$
Volumen: $V=a^3$, Dónde $a$- borde de un cubo.

Cualquier paralelepípedo

El volumen y las proporciones en un paralelepípedo inclinado a menudo se determinan mediante álgebra vectorial. El volumen de un paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de tres vectores determinado por los tres lados del paralelepípedo que emanan de un vértice. La relación entre las longitudes de los lados del paralelepípedo y los ángulos entre ellos da como resultado que el determinante de Gram de los tres vectores indicados es igual al cuadrado de su producto mixto: 215.

En análisis matemático

En análisis matemático bajo un cuboide de n dimensiones $B$ entender muchos puntos $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ amable $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

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Notas

Enlaces

Correcto Correcto no convexo Convexo Fórmulas, teoremas, teorías Otro

Un extracto que caracteriza al paralelepípedo.

- On dit que les rivaux se sont reconcilias Grace a l "angine... [Dicen que los rivales se reconciliaron gracias a esta enfermedad.]
La palabra angine se repitió con gran placer.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait Dangereux. [El viejo conde es muy conmovedor, dicen. Lloró como un niño cuando el médico Dijo ese caso peligroso.]
- Oh, ce serait un perte terrible. C"est une femme ravissante. [Oh, eso sería una gran pérdida. Qué mujer tan encantadora.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse", dijo Anna Pavlovna, acercándose. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde", dijo Anna Pavlovna con una sonrisa ante su entusiasmo. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Estás hablando de la pobre condesa... Envié a informarme sobre su salud. Me dijeron que se sentía un poco mejor. Oh, sin duda, esta es la mujer más hermosa del mundo. Pertenecemos a campos diferentes, pero eso no me impide respetarla por sus méritos. Es muy infeliz.] – añadió Anna Pavlovna.
Creyendo que con estas palabras Anna Pavlovna levantaba un poco el velo del secreto sobre la enfermedad de la condesa, un joven descuidado se permitió expresar su sorpresa de que no llamaran a médicos famosos, sino que la condesa estuviera siendo tratada por un charlatán que podía dar información peligrosa. remedios.
“Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes”, Anna Pavlovna atacó repentinamente con veneno al joven inexperto. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Sus noticias pueden ser más precisas que las mías... pero sé por buenas fuentes que este médico es una persona muy erudita y hábil. Este es el médico vitalicio de la Reina de España.] - Y destruyendo así al joven, Anna Pavlovna se volvió hacia Bilibin, quien, en otro círculo, recogió la piel y, aparentemente, a punto de soltarla para decir un mot, habló. sobre los austriacos.
“¡Je trouve que c"est charmant! [¡Lo encuentro encantador!]”, dijo sobre el papel diplomático con el que los estandartes austriacos tomados por Wittgenstein fueron enviados a Viena, le heros de Petropol [el héroe de Petropol] (como él fue llamado en Petersburgo).
- ¿Cómo, cómo es esto? - Anna Pavlovna se volvió hacia él, despertando el silencio al escuchar la palabra que ya conocía.
Y Bilibin repitió las siguientes palabras originales del despacho diplomático que redactó:
“L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens”, dijo Bilibin, “drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [El Emperador envía a los estandartes austríacos, estandartes amigos y perdidos que encontró fuera del camino real.], ”, finalizó Bilibin, aflojando la piel.
"Encantador, encantador, [Encantador, encantador", dijo el príncipe Vasily.
“C"est la route de Varsovie peut être, [Esta es la carretera de Varsovia, tal vez.] - dijo el Príncipe Hipólito en voz alta e inesperada. Todos lo miraron, sin entender lo que quería decir con esto. El Príncipe Hipólito también miró hacia atrás. con alegre sorpresa a su alrededor, él, como otros, no entendió lo que significaban las palabras que dijo. Durante su carrera diplomática, más de una vez notó que las palabras dichas de esta manera de repente resultaron ser muy ingeniosas, y las dijo. palabras por si acaso, las primeras que le vienen a la mente: "Tal vez funcione muy bien", pensó, "y si no funciona, podrán arreglarlo allí, mientras". Reinó un silencio incómodo, apareció Anna Pavlovna, quien sonrió y señaló a Ippolit con el dedo, invitó al príncipe Vasily a la mesa y, entregándole dos velas y un manuscrito, le pidió que comenzara. .

Paralelepípedo rectangular

Un paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo recto en el que todas sus caras son rectángulos.

Basta con mirar a nuestro alrededor y veremos que los objetos que nos rodean tienen una forma similar a un paralelepípedo. Se pueden distinguir por el color, tienen muchos detalles adicionales, pero si se descartan estas sutilezas, entonces podemos decir que, por ejemplo, un armario, caja, etc., tienen aproximadamente la misma forma.

¡Nos encontramos casi todos los días con el concepto de paralelepípedo rectangular! Mira a tu alrededor y dime ¿dónde ves paralelepípedos rectangulares? Mira el libro, ¡tiene exactamente la misma forma! Un ladrillo, una caja de cerillas, un bloque de madera tienen la misma forma, e incluso ahora estás dentro de un paralelepípedo rectangular, porque el aula es la interpretación más brillante de esta figura geométrica.

Ejercicio:¿Qué ejemplos de paralelepípedo puedes nombrar?

Echemos un vistazo más de cerca al cuboide. Y ¿qué vemos?

Primero, vemos que esta figura está formada por seis rectángulos, que son las caras de un cuboide;

En segundo lugar, un cuboide tiene ocho vértices y doce aristas. Las aristas de un cuboide son los lados de sus caras y los vértices del cuboide son los vértices de las caras.

Ejercicio:

1. ¿Cómo se llama cada una de las caras de un paralelepípedo rectangular? 2. ¿Gracias a qué parámetros se puede medir un paralelogramo? 3. Definir caras opuestas.

Tipos de paralelepípedos

Pero los paralelepípedos no sólo son rectangulares, sino que también pueden ser rectos e inclinados, y las líneas rectas se dividen en rectangulares, no rectangulares y cubos.

Tarea: Mire la imagen y diga qué paralelepípedos se muestran en ella. ¿En qué se diferencia un paralelepípedo rectangular de un cubo?

Propiedades de un paralelepípedo rectangular

Un paralelepípedo rectangular tiene una serie de propiedades importantes:

En primer lugar, el cuadrado de la diagonal de esta figura geométrica es igual a la suma de los cuadrados de sus tres parámetros principales: alto, ancho y largo.

En segundo lugar, sus cuatro diagonales son absolutamente idénticas.

En tercer lugar, si los tres parámetros de un paralelepípedo son iguales, es decir, el largo, el ancho y el alto son iguales, entonces dicho paralelepípedo se llama cubo y todas sus caras serán iguales al mismo cuadrado.

Ejercicio

1. ¿Tiene un paralelepípedo rectangular lados iguales? Si hay alguno, muéstrelo en la figura. 2. ¿De qué formas geométricas están formadas las caras de un paralelepípedo rectangular? 3. ¿Cuál es la disposición de aristas iguales entre sí? 4. Nombra el número de pares de caras iguales de esta figura. 5. Encuentra los bordes en un paralelepípedo rectangular que indican su largo, ancho y alto. ¿Cuantos contaste?

Tarea

Para decorar bellamente el regalo de cumpleaños de su madre, Tanya tomó una caja con forma de paralelepípedo rectangular. El tamaño de esta caja es de 25cm*35cm*45cm. Para embellecer este embalaje, Tanya decidió cubrirlo con un bonito papel, cuyo coste es de 3 hryvnia por 1 dm2. ¿Cuánto dinero deberías gastar en papel de regalo?

¿Sabías que el famoso ilusionista David Blaine pasó 44 días en un paralelepípedo de cristal suspendido sobre el Támesis como parte de un experimento? Durante estos 44 días no comió, solo bebió agua. En su prisión voluntaria, David sólo llevó material para escribir, una almohada, un colchón y pañuelos.

Será útil que los estudiantes de secundaria aprendan a resolver problemas del Examen Estatal Unificado para encontrar el volumen y otros parámetros desconocidos de un paralelepípedo rectangular. La experiencia de años anteriores confirma que estas tareas resultan bastante difíciles para muchos graduados.

Al mismo tiempo, los estudiantes de secundaria con cualquier nivel de formación deben saber cómo encontrar el volumen o el área de un paralelepípedo rectangular. Solo en este caso podrán contar con recibir puntajes competitivos en función de los resultados de aprobar el examen estatal unificado de matemáticas.

Puntos clave para recordar

• Los paralelogramos que forman un paralelepípedo son sus caras, sus lados son sus aristas. Los vértices de estas figuras se consideran los vértices del propio poliedro.
• Todas las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales. Como se trata de un poliedro recto, las caras laterales son rectángulos.
• Dado que un paralelepípedo es un prisma con un paralelogramo en su base, esta figura tiene todas las propiedades de un prisma.
• Los bordes laterales de un paralelepípedo rectangular son perpendiculares a la base. Por tanto, son sus alturas.

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Definición

Poliedro llamaremos a una superficie cerrada compuesta de polígonos y que delimita una determinada parte del espacio.

Los segmentos que son los lados de estos polígonos se llaman costillas poliedro, y los polígonos mismos son bordes. Los vértices de los polígonos se llaman vértices de poliedro.

Consideraremos solo poliedros convexos (este es un poliedro que se encuentra en un lado de cada plano que contiene su cara).

Los polígonos que forman un poliedro forman su superficie. La parte del espacio que está delimitada por un poliedro dado se llama interior.

definición: prisma

Considere dos polígonos iguales \(A_1A_2A_3...A_n\) y \(B_1B_2B_3...B_n\) ubicados en planos paralelos de modo que los segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralelo. Un poliedro formado por los polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) y \(B_1B_2B_3...B_n\) , así como paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se llama (\(n\)-gonal) prisma.

Los polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) y \(B_1B_2B_3...B_n\) se llaman bases de prismas, paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– caras laterales, segmentos \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- costillas laterales.
Por tanto, los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales entre sí.

Veamos un ejemplo: un prisma. \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), en cuya base se encuentra un pentágono convexo.

Altura Los prismas son una perpendicular que cae desde cualquier punto de una base al plano de otra base.

Si los bordes laterales no son perpendiculares a la base, entonces dicho prisma se llama inclinado(Fig. 1), de lo contrario – derecho. En un prisma recto, las aristas laterales son alturas y las caras laterales son rectángulos iguales.

Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces el prisma se llama correcto.

Definición: concepto de volumen

La unidad de medida de volumen es una unidad cúbica (un cubo que mide \(1\times1\times1\) unidades\(^3\), donde unidad es una determinada unidad de medida).

Podemos decir que el volumen de un poliedro es la cantidad de espacio que limita este poliedro. En caso contrario: se trata de una cantidad cuyo valor numérico muestra cuántas veces cabe un cubo unitario y sus partes en un poliedro determinado.

El volumen tiene las mismas propiedades que el área:

1. Los volúmenes de figuras iguales son iguales.

2. Si un poliedro se compone de varios poliedros que no se cruzan, entonces su volumen es igual a la suma de los volúmenes de estos poliedros.

3. El volumen es una cantidad no negativa.

4. El volumen se mide en cm\(^3\) (centímetros cúbicos), m\(^3\) (metros cúbicos), etc.

Teorema

1. El área de la superficie lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.
El área de la superficie lateral es la suma de las áreas de las caras laterales del prisma.

2. El volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura del prisma: \

definición: paralelepípedo

Paralelepípedo es un prisma con un paralelogramo en su base.

Todas las caras del paralelepípedo (hay \(6\) : \(4\) caras laterales y \(2\) bases) son paralelogramos, y las caras opuestas (paralelas entre sí) son paralelogramos iguales (Fig. 2) .

Diagonal de un paralelepípedo es un segmento que conecta dos vértices de un paralelepípedo que no se encuentran en la misma cara (hay \(8\) de ellos: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etc.).

Paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo recto con un rectángulo en su base.
Porque Como se trata de un paralelepípedo recto, las caras laterales son rectángulos. Esto quiere decir que en general todas las caras de un paralelepípedo rectangular son rectángulos.

Todas las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales (esto se desprende de la igualdad de triángulos \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) etc.).

Comentario

Por tanto, un paralelepípedo tiene todas las propiedades de un prisma.

Teorema

El área de la superficie lateral de un paralelepípedo rectangular es \

La superficie total de un paralelepípedo rectangular es \

Teorema

El volumen de un cuboide es igual al producto de sus tres aristas que emergen de un vértice (tres dimensiones del cuboide): \

Prueba

Porque En un paralelepípedo rectangular, las aristas laterales son perpendiculares a la base, entonces también son sus alturas, es decir, \(h=AA_1=c\) Porque la base es un rectángulo, entonces \(S_(\text(principal))=AB\cdot AD=ab\). De aquí surge esta fórmula.

Teorema

La diagonal \(d\) de un paralelepípedo rectangular se encuentra usando la fórmula (donde \(a,b,c\) son las dimensiones del paralelepípedo) \

Prueba

Veamos la figura. 3. Porque la base es un rectángulo, entonces \(\triangle ABD\) es rectangular, por lo tanto, según el teorema de Pitágoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Porque todos los bordes laterales son perpendiculares a las bases, entonces \(BB_1\perp (ABC) \Flecha derecha BB_1\) perpendicular a cualquier línea recta en este plano, es decir \(BB_1\perp BD\) . Esto significa que \(\triangle BB_1D\) es rectangular. Entonces, por el teorema de Pitágoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.

definición: cubo

Cubo es un paralelepípedo rectangular, todas cuyas caras son cuadrados iguales.

Por tanto, las tres dimensiones son iguales entre sí: \(a=b=c\) . Entonces lo siguiente es cierto

Teoremas

1. El volumen de un cubo con arista \(a\) es igual a \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. La diagonal del cubo se encuentra usando la fórmula \(d=a\sqrt3\) .

3. Superficie total de un cubo \(S_(\text(cubo lleno))=6a^2\).