Бұл сабақта біз кеңістіктегі параллель түзулер тақырыбы бойынша негізгі анықтамалар мен теоремалар береміз.
Сабақтың басында біз кеңістіктегі параллель түзулердің анықтамасын қарастырамыз және кеңістіктегі кез келген нүкте арқылы берілгенге параллель бір ғана түзу жүргізуге болатыны туралы теореманы дәлелдейміз. Әрі қарай жазықтықты қиып өтетін екі параллель түзу туралы лемманы дәлелдейміз. Ал оның көмегімен үшінші түзуге параллель екі түзу туралы теореманы дәлелдейміз.

Тақырыбы: Түзулер мен жазықтықтардың параллелдігі

Сабақтың тақырыбы: Кеңістіктегі параллель түзулер. Үш сызықтың параллелдігі

Біз планиметрияда параллель түзулерді зерттедік. Енді кеңістіктегі параллель түзулерді анықтап, сәйкес теоремаларды дәлелдеу керек.

Анықтама: Кеңістіктегі екі түзу бір жазықтықта жатса және қиылыспаса, олар параллель деп аталады (1. сурет).

Параллель түзулердің белгіленуі: a || б.

1. Қандай түзулер параллель деп аталады?

2. Берілген екі параллель түзуді қиып өтетін барлық түзулердің бір жазықтықта жататынын дәлелдеңдер.

3. Түзу сызықтарды қиып өтеді ABЖәне б.з.д.тік бұрыштарда. Түзулер параллель ме? ABЖәне б.з.д.?

4. Геометрия. 10-11 сыныптар: жалпы білім беретін оқу орындарының оқушыларына арналған оқулық (базалық және бейінді деңгейлер) / И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. - 5-ші басылым, түзетілген және кеңейтілген - М.: Мнемосине, 2008. - 288 б. : науқас.

Егер екі түзу қиылыса немесе параллель болса, онда олар бір жазықтықта жатады. Бірақ кеңістікте екі түзуді бір жазықтықта жатпайтындай етіп орналастыруға болады, яғни бұл екі түзуден де өтетін жазықтық болмайды. Мұндай түзулердің қиылыспайтыны немесе параллель болатыны анық.

Кеңістікте екі түзудің мүмкін орналасуының үш жағдайы қарастырылады. Кеңістіктегі екі түзу:

1. Бір жазықтықта жатып, ортақ нүктесі бар;

2. Бір жазықтықта жату және ортақ нүктелері жоқ;

Бір жазықтықта жатпаңыз, сондықтан ортақ нүктелер жоқ.

Анықтама: Екі түзудің ортақ нүктесі болса, қиылысатыны айтылады.

Анықтама: Екі түзу бір жазықтықта жатса және ортақ нүктелері болмаса немесе сәйкес келсе, параллель деп аталады.

Анықтама: Екі түзу қиылыспаса және параллель болмаса (бір жазықтықта жатпаса) қисық деп аталады.

Белгі: а · б

ТҮЗУ СЫЗЫҚТАРДЫ КЕТУ БЕЛГІСІ

Теорема: Егер екі түзудің бірі жазықтықта жатса, ал екіншісі осы жазықтықты бірінші түзуге жатпайтын нүктеде қиып өтсе, онда бұл түзулер қиылысады.

Берілген: ; ; .

Дәлелдеу: а · б

Дәлелдеу: (қайшылық бойынша)

Дәлелдегіміз келетін нәрсеге қарама-қарсы, яғни бұл түзулер қиылысады немесе параллель болады деп алайық: .

Бір жазықтықты екі қиылысатын немесе параллель түзу арқылы жүргізуге болады, сондықтан бұл түзулер жататын белгілі бір жазықтық бар: .

Теореманың шарттарына сәйкес.

Болжам бойынша.

Теореманың шарттарынан және болжамнан екі жазықтықтың «а» түзуінен және оған жатпайтын М нүктесінен өтетіні шығады, өйткені түзу мен а арқылы бір ғана жазықтықты жүргізуге болады оған жатпайтын нүкте, сондықтан жазықтықтар сәйкес келеді. .

Болжам бойынша.

Шарт бойынша.

Біз теореманың шарттарымен қайшылық алдық, сондықтан болжам дұрыс емес, бірақ дәлелдеуді қажет ететін нәрсе шындық, яғни түзулер қиылысады: a · б.

Еске салайық, қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш деп бір нүкте арқылы өтетін параллель түзулер арасындағы бұрышты айтады. Басқаша айтқанда, егер тікелей л o және л 1 кесілген болса, біз сызықтың параллель аудармасын жасауымыз керек л o , сондықтан ол түзу сызық болып шығады л o ¢ қиылысатын л 1 және арасындағы бұрышты өлшеңіз л o ¢ және л 1 .

Екі қиғаш сызықтың ортақ бір перпендикуляры бар. Оның ұзындығы сызықтар арасындағы қашықтық деп аталады.

Кеңістіктегі екі түзу олардың канондық теңдеулері арқылы анықталсын:

л o: = =, л 1: = = . (35)

Сонда біз бірден қорытынды жасай аламыз ( а 1 , а 2 , а 3)½½ ло , ( б 1 , б 2 , б 3)½½ л 1 , А o ( xо, жо, z o)Î ло, А 1 (x 1 , ж 1 , z 1)О л 1. Матрица құрайық

x 1 – xо ж 1 – жо z 1 –zо

А = а 1 а 2 а 3 ,

б 1 б 2 б 3

және D = det болсын А.

Теорема 8.1.l және p арасындағы бұрыш формула бойынша есептеледі

cos a = =. (36)

2. Тіке ло және л 1 араласадыÛ D ≠ 0.

3. Тіке л o және л 1 қиылысуÛ D = 0 және коллинеарлы емес.

4. л o½½ л 1 дәреже А= 2 және ½½.

5. л o = л 1 дәреже А = 1.

Дәлелдеу. 1. Түзулер арасындағы a бұрышы л o және л 1 олардың бағыт векторлары арасындағы b бұрышына тең болуы мүмкін немесе оған іргелес болуы мүмкін. Бірінші жағдайда

cos a = cos b =,

және екінші жағдайда

cos a = – cos b =½ cos b½ =.

Бұл формула бірінші жағдайда да қолданылады. Сызба түзу сызықты көрсетпейтінін ескеріңіз л o , және оған параллель түзу л o ¢ .

2, 3. Әлбетте, тура л o және л 1 параллель емес, егер олардың бағыт векторлары коллинеар болмаса ғана. Бұл жағдайда түзулер бір жазықтықта жатады және қиылысады – векторлары компланар – олардың аралас көбейтіндісі нөлге тең: = 0. Ал координаттарда бұл дәлдік көбейтіндісі D-ге тең.

Сәйкесінше, егер D ≠ 0 болса, онда векторлар компланар емес, демек түзу л o және л 1 бір жазықтықта жатпайды Þ олар қиылысады.

4, 5. Егер л o½½ л 1 немесе л o = л 1, содан кейін ½½. Бірақ бірінші жағдайда вектор коллинеар емес және, демек, матрицаның бірінші жолы Аекінші және үшінші жолдарға пропорционалды емес. Сонымен қатар А = 2.

Екінші жағдайда барлық үш вектор бір-біріне коллинеар, демек, барлық жолдар

матрицада Апропорционалды. Сонымен қатар А = 1.

Және керісінше, егер || , содан кейін түзу л o және л 1 параллель немесе сәйкес; бұл жағдайда матрицаның екінші және үшінші жолдары Апропорционалды. Егер, бір мезгілде, дәреже А= 2, онда матрицаның бірінші жолы екінші және үшіншіге пропорционалды емес, яғни вектор коллинеар емес және Û л o || л 1. Егер дәреже А= 1, содан кейін матрицадағы барлық жолдар Апропорционал, яғни барлық үш вектор бір-біріне коллинеар Û л o = л 1 .

Теорема 9.Екі түзу l болсыно және л 1 кеңістікте олардың канондық теңдеулері арқылы берілген (35). Содан кейін

1. егер л o½½ л 1 , онда l арасындағы қашықтықо және л 1 формуласы арқылы табылады

h = , (37)

2. егер ло және л 1 крест, онда олардың арасындағы қашықтық формула бойынша табылады

h = . (38)

Дәлелдеу. 1. Болсын л o½½ л 1. Нүктеден векторды салайық А o , және векторлар бойынша параллелограмм саламыз. Содан кейін оның биіктігі hарасындағы қашықтық болады л o және л 1. Бұл параллелограмның ауданы: С=½ ´½, ал негізі ½ ½. Сондықтан

h = S/½ ½ = (37).

2. Болсын л o және л 1 кесілген. Түзу сызық арқылы сызайық л o жазықтық p o ½½ л 1 және түзу сызық арқылы л 1 жазықтықты сызыңыз p 1 ½½ ло.

Содан кейін ортақ перпендикуляр л o және л 1 p o және p 1-ге ортақ перпендикуляр болады. Векторларды және нүктеден сызып көрейік А o және векторлар бойынша, және параллелепипед салу. Сонда оның төменгі табаны p o жазықтығында, ал үстіңгі табаны p 1 жазықтығында жатыр. Демек, параллелепипедтің биіктігі p o және p 1-ге ортақ перпендикуляр болады және оның мәні hарасындағы қашықтық болады л o және л 1. Параллелепипедтің көлемі ½ ½, ал табанының ауданы ½´½ Þ

h= V/Sнегізгі = (38).

Салдары. А нүктесінен қашықтығы 1 (x 1 , ж 1 , z 1) түзу сызыққа l, теңдеуімен берілген

формула бойынша есептеледі (37).

Есептерді шешу мысалдары.

1. А төбелерінің координаталары берілген(1,– 6), Б(–3, 0), C(6, 9) ABC үшбұрышы. Үшбұрышқа сызылған шеңбердің теңдеуін жаз.

Шешім. Шеңбердің теңдеуін құру үшін оның радиусын білуіміз керек Ржәне орталық координаталар ТУРАЛЫ(а, б). Сонда теңдеу келесідей болады:

(x–а) 2 +(ж–б) 2 = Р 2 .

Үшбұрыштың айналасына сызылған шеңбердің центрі осы үшбұрыштың қабырғаларына перпендикуляр биссектрисалардың қиылысында орналасқан. Ортаңғы нүктелердің координаталарын табу М 1 (x 1 , ж 1), және М 3 (x 3 , ж 3) жақтары б.з.д.Және ABтиісінше:

x 1 = = =, ж 1 = = = , М 1 .

Сол сияқты М 3 (–1,–3).

Болсын л 3 – перпендикуляр биссектриса болатын түзу AB, А л 1 – дейін б.з.д.. Сонда = (– 4, 6) ^ л 3 және л 3 өтеді М 3. Сондықтан оның теңдеуі:

– 4(x+1) + 6(ж+3) = 0.

Сол сияқты = (9, 9)^ л 3. Сондықтан теңдеу л 1:

9(x-) + 9(ж -) = 0

x + ж – 6 = 0.

Бізде бар ТУРАЛЫ =л 1 I л 3. Сондықтан нүктенің координаталарын табу ТУРАЛЫтеңдеулерді бірге шешу керек л 1 және л 3:

x + ж – 6 = 0 ,

– 4x + 6ж +14 = 0.

Бірінші теңдеуді 4-ке көбейткен екінші теңдеуге қосайық:

x + ж – 6 = 0,

10ж – 10 = 0.

Осы жерден ж = 1, x = 5, О(5, 1).

радиусы қашықтығына тең ТУРАЛЫүшбұрыштың кез келген төбелеріне. Біз табамыз:

Р =½½= = .

Сонымен шеңбердің теңдеуі:

(x – 5) 2 + (ж–1) 2 = 65.

2. ABC тікбұрышты үшбұрышында катеттердің бірінің теңдеуі белгілі 3x – 2ж + 5 = 0, шыңының координаталары C(–5,–5) және ортаңғы О координаталары(– 3/2,–3)гипотенузасы AB. Координаталарды табыңыз

А, В төбелері және Е нүктесінің координаталары, ВС жағына қатысты О-ға симметриялы. АВС үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесінің координаталарын табыңыз .

Шешім.Теңдеуі бізге берілген аяқ болсын NE. Ол форманың жалпы теңдеуі арқылы беріледі

балта + бойынша + в = 0.

Бұл теңдеудегі геометриялық мағына

коэффициенттер аЖәне бнормаль векторының координаталары ( а, б). Сондықтан (3,-2)^ Күн.

Перпендикуляр теңдеуін құрайық л = О.Д.жағына NEжәне нүктенің координаталарын табыңыз D. Вектор параллель болады О.Д., яғни. ол осы сызықтың бағыт векторы. Сонымен қатар, біз нүктенің координаталарын білеміз ТУРАЛЫосы түзу сызықта. Параметрлік теңдеу құру л:

x = – + 3т, (*)

ж = – 3 - 2т .

Бізде бар D = л I б.з.д.. Сондықтан осы нүктенің координаталарын табу үшін теңдеулерді бірге шешу керек лЖәне б.з.д.. алмастырайық xЖәне жтеңдеуден лтеңдеуге б.з.д.:

3(– + 3т) –2(–3 -2т)+5 = 0,

– + 9т +6 +4т+5 = 0,

13т = –, т D= – .

Біз тапқан нәрсені ауыстырыңыз ттеңдеуге лжәне нүктенің координаталарын табыңыз D(–3,–2). Координаталарды табу үшін ЕТүзудің параметрлік теңдеуінің физикалық мағынасын еске түсірейік: ол түзу сызықты және бірқалыпты қозғалысты көрсетеді. Біздің жағдайда бастапқы нүкте болып табылады ТУРАЛЫ О.Есегментінен екі есе ұзын OD. Егер уақыт ішінде т D= – біз ұзақ жолдан өттік ТУРАЛЫдейін D, содан кейін жол ТУРАЛЫдейін Еуақытында өтеміз тЕ= 2т D= –1. Бұл мәнді (*) орнына қойып, табамыз Е(– 4,5;–1).

Нүкте Dсегментті бөледі б.з.д.жартысында. Сондықтан

x D =, ж D = .

Осы жерден табамыз

x B= 2xD– x C= –1, у Б = 2ж D – у C =1, Б(–1, 1).

Сол сияқты, бұл фактіні пайдаланып ТУРАЛЫ– орта AB, нүктенің координаталарын табыңыз А(-2,-7). Бұл мәселені шешудің тағы бір мүмкіндігі бар: Δ толтырыңыз ABCпараллелограмға.

Осыған байланысты сегментті бөлудің жалпы формулалары келесідей:

x C =, ж D = ,

егер нүкте МЕНсегментті бөледі AB l 1:l 2 қатынасында, яғни. ½ А.С.½:½ б.з.д.½=l 1:l 2.

Медианалардың қиылысу нүктесі төбесінен санағанда медиананы 2:1 қатынасында бөлетіні белгілі. Біздің жағдайда Рбөледі CO 2:1 қатынасында. Сондықтан

x P = = = – ,

ж П = = = – .

Жауап:А(–2,–7), Б(–1, 1), П.

3. А төбелерінің координаталары берілген(– 4,–2), Б(9, 7), C(2,– 4)ABC үшбұрышы. AD биссектрисасының жалпы теңдеуін құрыңыз және D нүктесінің координаталарын табыңыз.

Шешім. Бастауыш математика курсынан = екені белгілі. Біз есептейміз

(13, 9), (6,–2);

½½= = 5, ½½= = 2.

x D = = = 4,

ж D = = = – , D(4,–).

нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеуін құрастырамыз АЖәне D. Ол үшін вектор бағыттаушы болып табылады. Бірақ біз нұсқаулық ретінде кез келген коллинеар векторды аламыз. Мысалы, = , (7, 1) алу ыңғайлы болады. Содан кейін теңдеу

AD: = ж+ 2 Û x – 7ж– 10 = 0.

Жауап:D(4,–), AD: x – 7ж– 10 = 0.

4. Екі медиананың теңдеулері x берілген – ж– 3 = 0, 5x + 4ж– 9 = 0 ABC үшбұрышы және А төбесінің координаталары(– 1, 2). Үшінші медиананың теңдеуін жазыңыз.

Шешім.Алдымен біз нүктенің екеніне көз жеткіземіз Абұл медианаларға жатпайды. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады М. Сондықтан олар өтетін сызықтар шоғырына кіреді М. Осы сәуленің теңдеуін құрайық:

l( x – ж– 3) + м(5 x + 4ж– 9) = 0.

l және m коэффициенттері пропорционалдылыққа дейін анықталады; сондықтан m = 1 (егер m = 0 болса, онда сәулелік теңдеу тек бірінші медиананы көрсетеді, ал қалаған түзу онымен сәйкес келмейді) деп болжауға болады. Біз сәуленің теңдеуін аламыз:

(l + 5) x+ (–l + 4) ж– 3л – 9 = 0.

Осы сәуледен нүкте арқылы өтетін түзуді таңдауымыз керек А(– 1, 2). Оның координаталарын сәуленің теңдеуіне ауыстырайық:

– (l + 5) + 2(–l + 4) – 3l – 9 = 0,

– 6л – 6 = 0, l = –1.

Табылған l мәнін сәулелік теңдеуге қойып, қажетті медиана теңдеуді аламыз:

4x + 5ж– 6 = 0.

Жауап: 4x + 5ж– 6 = 0.

5. SABC үшбұрышты пирамидасының төбелерінің координаталары берілген: А(–3, 7, 1), Б(–1, 9, 2), C(–3, 6, 6) С(6,–5,–2). ABC базалық жазықтығының теңдеуін және SD биіктігінің теңдеуін жазыңыз. D нүктесі мен S нүктесінің координаталарын табыңдар¢ , табан жазықтығына қатысты симметриялы S.

Шешім. p = негізінің жазықтығына параллель екі вектордың координаталарын табайық ABC:

= (2, 1, 1), = (0,–1, 5).

Берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі А(xо, жо, z o) екі коллинеар емес векторларға параллель ( а 1 ,а 2 , а 3), (б 1 ,б 2 , б 3) нысаны бар

x – xо ж – жо z – zо

а 1 а 2 а 3 = 0.

б 1 б 2 б 3

Мәліметтерді мына теңдеуге ауыстырамыз:

x + 3 ж – 7 z – 1

2 2 1 = 0.

0 –1 5

Анықтауышты кеңейтеміз:

Жазықтықтың теңдеуінен (11,–10,–2) векторы жазықтықтың нормаль векторы екенін көреміз. Сол вектор түзу үшін бағыттаушы болады h = SD. Берілген нүкте арқылы өтетін түзудің параметрлік теңдеуі А(xо, жо, z o) бағыт векторымен ( а 1 ,а 2 , а 3) нысаны бар

x = x o + а 1 т ,

ж = ж o + а 2 т ,

z = z o + а 3 т .

Біздің жағдайда мына теңдеуді аламыз:

x = 6 + 11т ,

h: ж = –5 – 10т , (*)

z = –2 – 2т .

Перпендикуляр негізін табайық. Бұл түзудің p жазықтығымен қиылысу нүктесі. Ол үшін теңдеулерді және p теңдеулерін бірге шешуіміз керек. Теңдеуден ауыстыру лπ теңдеуіне:

11(6 + 11т) – 10(–5 – 10 т) – 2(–2 – 2т) + 105 = 0,

66 + 121 т + 50 + 100 т + 4 + 4 т + 105 = 0,

225 ж = –225, т = –1.

Табылды ттеңдеуге ауыстырыңыз лжәне координаталарын табыңыз D(–5, 5, 0).

Түзудің параметрлік теңдеуінің физикалық мағынасын еске түсірейік: ол түзу сызықты және бірқалыпты қозғалысты көрсетеді. Біздің жағдайда, бастапқы нүкте С, жылдамдық векторы. Сегмент SS¢сегменттен екі есе ұзын SDжәне оны аяқтауға екі есе көп уақыт кетеді. Егер уақыт ішінде т D= – 1 біз кеттік Сдейін D, содан кейін жол Сдейін С¢ біз уақытында өтеміз т¢= 2 т D= –2. Бұл мәнді (*) орнына қойып, табамыз С¢(–16, 15; 2).

Жауап:ABC: 11x – 10ж– 2z +105 = 0, D(–5, 5, 0), С¢(–16, 15; 2),

x = 6 + 11т ,

SD: ж = –5 – 10т ,

z = –2 – 2т .

6. p жазықтығының l түзуінің теңдеулері берілген:

l және p қиылысатынына көз жеткізіп, l проекциясы үшін теңдеу құрыңыз¢ жазықтыққа l түзу. l және p арасындағы бұрышты табыңыз .

Шешім. Түзу теңдеуінен оның бағыт векторын табамыз: (1,–1, 2) және осы түзудегі нүкте: А(6, 0, 2) , ал жазықтық теңдеуінен – жазықтыққа нормаль вектор:

(5,–2, 4). Әлбетте, егер л½½ p немесе , содан кейін ^ яғни. · = 0. Тексерейік:

· = 5 1 – 2 (–1) + 4 2 = 15 ¹ 0.

білдіреді, лπ қиылысады. Арасындағы бұрыш лжәне p мына формула бойынша табылады:

күнә а = ;

|| = = , || = = = 3 .

күнә а = = .

Болсын А o – нүкте проекциясы Аұшақта және Б = л I π . Содан кейін л¢= Ао Бтүзудің проекциясы болып табылады. Алдымен нүктенің координаталарын табайық Б. Ол үшін түзудің теңдеуін қайта жазамыз лпараметрлік түрде:

x = 6 + т,

л: ж = – т,

z = 2 + 2т,

және оны жазықтықтың теңдеуімен бірге шешіңіз π . Теңдеуден ауыстыру лтеңдеуге π :

5(6 + т) – 2(– т) + 4(2 + 2т) + 7 = 0,

30 + 5т + 2т + 8 + 8т + 7 = 0,

15т = – 45, т = – 3.

Мұны алмастыру ттеңдеуге лкоординаталарын табыңыз Б(3, 3, 4). Перпендикуляр теңдеуін құрайық h = А.А.о. Тікелей үшін hвектор бағыттаушы қызметін атқарады. Сондықтан hтеңдеуімен берілген

x = 6 + 5т,

h: ж = –2 т,

z = 2 + 4т,

Нүктенің координаталарын табу үшін оны π жазықтығының теңдеуімен бірге шешеміз Ао:

5(6 + 5т) – 2(–2т) + 4(2 + 4т) + 7 = 0,

30 + 25т + 4т + 8 + 16т + 7 = 0,

45т = – 45, т = – 1.

Осыны ауыстырайық ттеңдеуге hжәне табамыз А o (1, 2,–2). Түзудің бағыт векторын табу л": Ао Б(2, 1,–2) және оның теңдеуін алыңыз:

.

7. Кеңістіктегі түзу l теңдеулер жүйесі арқылы берілген

2x+2ж– z– 1=0,

4x– 8ж+ z – 5= 0,

және А нүктесінің координаталары берілген(–5,6,1). l түзуіне қатысты А нүктесіне симметриялы В нүктесінің координаталарын табыңдар.

Шешім.Болсын П– нүктеден түскен перпендикулярдың табаны Атікелей л. Алдымен нүктенің координаталарын табамыз П. Ол үшін нүкте арқылы өтетін р жазықтығы үшін теңдеу құрамыз А p 1 және p 2 жазықтықтарына перпендикуляр. Бұл жазықтықтардың нормаль векторларын табамыз: (2, 2,–1), (4,–8, 1). p жазықтығы үшін олар бағыттаушы болады. Демек, бұл жазықтықтың теңдеуі:

x + 5 ж – 6 z – 1

2 2 –1 = 0.

4 –8 1

– 6(x + 5) – 6(ж – 6) –24(z – 1) = 0 .

Жақшаларды ашпас бұрын, міндетті түрде орындаңыз

Алдымен барлық теңдеуді – 6-ға бөліңіз:

x + 5 + ж – 6 + 4(z – 1) = 0,

x+ y+ 4z – 5 = 0.

Қазір П– p, p 1 және p 2 жазықтықтарының қиылысу нүктесі. Оның координаталарын табу үшін мына жазықтықтардың теңдеулерінен тұратын жүйені шешу керек:

x + ж + 4z – 5 = 0,

4x – 8ж + z – 5 = 0,

2x + 2ж – z – 1 = 0.

Оны Гаусс әдісімен шешіп, табамыз П(1,0,1). Әрі қарай, бұл фактіні пайдалану П– орта ABнүктенің координаталарын табамыз Б(7,–6,1).

Толық аялдама Пең жақын басқа жолмен табуға болады Атүзудің нүктесі л. Ол үшін осы сызыққа параметрлік теңдеу құру қажет. Бұл қалай жасалады, тапсырманы қараңыз 10 . Қосымша әрекеттер үшін тапсырманы қараңыз 8 .

8. IN D ABC төбелерімен А(9, 5, 1), Б(–3, 8, 4), C(9,–13,–8) AD биіктігі сызылған. D нүктесінің координаталарын табыңыз, AD жолының теңдеуін жазыңыз, h есептеңіз=½ AD½ және h есептеу арқылы тексеріңізС Д Айқас көбейтіндіні пайдаланып ABC.

Шешім.Мәселе анық Dкелесідей табуға болады: D= πI б.з.д., мұндағы π - нүкте арқылы өтетін жазықтық Ажағына перпендикуляр б.з.д.. Бұл жазықтық үшін қалыпты вектор қызметін атқарады. (12,–21,–12) табамыз. Бұл вектордың координаталары 3-ке толығымен бөлінеді. Сондықтан p-қа нормаль векторы ретінде = , (4,–7,–4) алуға болады. Нүкте арқылы өтетін π жазықтығының теңдеуі А o ( xо, жо, z o) векторға перпендикуляр ( а, б, в), пішіні бар:

а(x – x o) + б(ж – ж o) + в(z – z o) = 0.

Біздің жағдайда:

4(x – 9) - 7(ж – 5) - 4(z – 1) = 0,

4x - 7ж - 4z + 3 = 0,

Түзудің теңдеуін құрайық б.з.д.. Ол үшін вектор бағыттаушы болады:

x = –3 + 4т,

б.з.д.: ж = 8 – 7т, (*)

z = 4 – 4т,

бері D= πI б.з.д., нүктенің координаталарын табу Dтеңдеулерді бірге шешу керек π Және б.з.д.. Теңдеуден ауыстыру б.з.д.π теңдеуіне:

4(–3 + 4т) – 7(8 – 7т) – 4(4 – 4т) + 3 = 0,

–12 + 16 т – 56 + 49т – 16 + 16 т + 3 = 0,

81т = 81, т = 1.

Осыны ауыстырайық ттүзу теңдеуіне б.з.д.және табамыз D(1, 1, 0). Әрі қарай, нүктелердің координаталарын білу АЖәне D, түзудің теңдеуін құрастырамыз ADНүктелер арасындағы қашықтықты формула арқылы есептейміз:

i j k i j k

´ = –12 3 3 = –27· – 4 1 1 = –27(– мен + 4j– 8к) .

0 –18 –9 0 2 1

(Есептеу процесінде анықтауыштың қасиетін қолдандық: анықтауыштың таңбасынан бір түзудің элементтерінің ортақ көбейткішін шығаруға болады).

SΔ ABC= · 27 =.

Екінші жағынан, S Δ ABC = | |· h. Осы жерден h= . Табамыз

Сондықтан h= 9. Бұл бұрын табылған жауапқа сәйкес келеді.

Толық аялдама Dжақынырақ табуға болады Атүзудің нүктесі б.з.д.дифференциалды есептеу әдістерін қолдану. Болсын М(т) – түзудің ерікті нүктесі б.з.д.; оның координаталары (*) жүйесімен анықталады:

М(–3 + 4т, 8 – 7т, 4 – 4т).

Нүктеден квадратқа дейінгі қашықтықты табу Адейін М(т):

h 2 (т) = (9 + 3 – 4т) 2 + (5 – 8 + 7т) 2 + (1 – 4 + 4т) 2

= (12 – 4т) 2 + (–3 + 7т) 2 + (–3 + 4т) 2 =

144 – 96т + 16т 2 + 9 – 42т + 49т 2 + 9 – 24т + 16т 2 =

81т 2 – 162т + 162.

Функцияның ең кіші мәнін табайық h 2 (т) туындыны пайдаланып:

h 2 (т) = 162т – 162; h 2 (т) = 0 Þ т = 1.

Бұл мәнді ауыстырыңыз ттүзу теңдеуіне б.з.д.және біз оны табамыз D(1, 1, 0) ең жақын Атүзудегі нүкте б.з.д..

9. Төмендегі жұп жазықтықтардың өзара орналасуын зерттеңіз(қиылысу, параллель, сәйкес келу). Егер жазықтықтар қиылыса, онда олардың арасындағы бұрышты табыңыз, егер олар параллель болса – олардың арасындағы қашықтық.

A). p1:2 ж+ z + 5 = 0, p 2: 5 x + 4ж– 2z +11 = 0.

Шешім.Егер p 1 және p 2 жазықтықтары олардың жалпы теңдеулері арқылы берілсе

а 1 x + б 1 ж + в 1 z + г 1 = 0, а 2 x + б 2 ж + в 2 z + г 2 = 0,

p 1 ½½ p 2 Û = = ¹ ,

p 1 = p 2 Û = = =.

Біздің жағдайда, ¹ ¹, сондықтан жазықтықтар параллель емес және сәйкес келмейді. Бұл олардың қиылысуын білдіреді. Жазықтықтар арасындағы бұрыш формула бойынша есептеледі

cos а = ,

мұндағы және осы жазықтықтардың нормаль векторлары. Біздің жағдайда

(0, 2, 1), (5, 4,–2), = 0·5 + 2·4 + 1·(–2);

|| = = , || = = 3 .

Сондықтан cos а = = .

Жауап: a = arccos.

б) p1: x – ж+ 2z + 8 = 0,

p2:2 x – ж+ 4z –12 = 0.

Шешім.Параллелизмді немесе сәйкестікті тексеру:

Бұл p 1 ½½ p 2, бірақ p 1 ¹ p 2 дегенді білдіреді. Нүктеден қашықтық А(x, ж, z) теңдеумен көрсетілген жазықтыққа дейін формула арқылы табылады

h = .

Нүкте таңдайық АОп 1. Ол үшін p 1 теңдеуін қанағаттандыратын кез келген үш координатаны таңдау керек. Біздің жағдайда ең қарапайым нәрсе: А o (0, 8, 0). бастап қашықтығы А o - p 2 және p 1 мен p 2 арасындағы қашықтық болады:

h = = .

10. Жазықтықтың теңдеуін құрыңыз p, ол жазықтықтар арасындағы екібұрышты бұрыштардың бірін екіге бөледі

p1:2 x– ж+ 2= 0, p 2: 5 x+ 4ж– 2z–14 = 0,

онда осы А нүктесі бар(0, 3,–2). l түзуінің параметрлік теңдеуін құрастыр = б 1 I б 2 ;

Шешім.Егер нүкте екібұрышты бұрышты екіге бөлетін p жазықтықта жатса, онда арақашықтықтар h 1 және h 2 осы нүктеден p 1 және p 2 тең.

Бұл қашықтықтарды тауып, оларды теңестіреміз:

Біз бірдей немесе әртүрлі белгілері бар модульдерді аша аламыз. Сондықтан біз 2 жауап ала аламыз, себебі... p 1 және p 2 екі екібұрышты бұрыш құрайды. Бірақ шарт нүкте орналасқан бұрышты екіге бөлетін жазықтықтың теңдеуін табуды талап етеді. А. Сонымен нүктенің координаталары Мосы жазықтықтардың теңдеулерінің сол жақтарына ауыстырғанда б 1 және нүктенің координаталарымен бірдей таңбалары болуы керек А. Бұл белгілер p 1 үшін және «+» p 2 үшін екенін тексеру оңай. Сондықтан біз бірінші модульді «–» белгісімен, ал екіншісін «+» белгісімен кеңейтеміз:

3(-2x + ж- 2) = 5x+ 4ж– 2z–14,

б:11 x + ж - 2z - 14 = 0.

Түзудің теңдеуін құру үшін л, осы түзудің бағыт векторын және ондағы нүктені табуымыз керек.

p 1 және p 2 теңдеулерінен осы жазықтықтарға нормаль векторлардың координаталарын табамыз: (2,–1, 0), (5, 4,–2). Бағыт векторы түзу лперпендикуляр және Мұны векторлық өнім арқылы табуға болады (анықтама бойынша, егер = ´ болса, ^ және ^):

= ´ = 2 –1 0 = 2 мен + 4j+ 13к .

Түзудегі бір нүктенің координаталарын табу үшін теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табу керек.

Екі теңдеу және үш белгісіз болғандықтан, жүйеде шешімдердің шексіз саны бар. Бізге тек біреуін таңдау керек. Ең оңай жолы - қою x= 0, содан кейін табамыз

Þ z = – 3, .

Нүкте арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуі Б(xо, жо, z o) векторға параллель ( а 1 , а 2 , а 3) нысаны бар:

Біздің жағдайда бізде теңдеу бар:

л: = = .

Жауап:б: 11 x + ж – 2z = 0, л: = = .

11. Кеңістіктегі екі түзудің теңдеулері берілген:

x = –1 – т, x = –3 + 2т¢,

л 1: ж = 6 + 2 т, л 2: ж = –2 – 3т¢,

z = 5 + 2т, z = 3 – 2т¢.

Осы түзулердің қиылысатынын дәлелдеп, олардың ортақ перпендикулярының теңдеуін құрыңдар.

Шешім.Түзулер теңдеулерінен олардың бағыт векторларының координаталарын табамыз: (–1, 2, 2), (2,–3,–2) және l 1 нүктелері, бұл ортақ перпендикулярдың бағыт векторы екенін білдіреді. бұл жолдар. Біз оның координаталарын таптық: (2, 2,–1). үшін

теңдеу жазу hосы түзудің бір нүктесінің координаталарын табуымыз керек. Ол үшін өтетін π жазықтығының теңдеуін құрамыз л 1 және h. Ол үшін векторлар бағыттаушы болады және АÎp.

x – 1 ж – 2 z – 1

– 6(x – 1) + 3(ж – 2) – 6(z – 1) = 0.

– 2(x – 1) + (ж – 2) – 2(z – 1) = 0.

б: –2 x + ж – 2z + 2 = 0.

Қиылысу нүктесін табу л 2 және π. Ол үшін теңдеуден л 2 теңдеуге π ауыстырамыз:

–2(–3 + 2т¢) –2 + 3 т¢ – 2(3 – 2 т¢) + 2 = 0,

6 – 4т¢ – 2 – 3 т¢ – 6 – 4 т¢ + 2 = 0,

–7т¢= 0, т¢= 0.

Біз тапқан нәрсені ауыстырыңыз т¢ в

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария етуге. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Бұл мақалада біз үш өлшемді кеңістіктегі түзу ұғымын түсінеміз, түзулердің өзара орналасуының нұсқаларын қарастырамыз және кеңістіктегі түзуді анықтаудың негізгі әдістеріне тоқталамыз. Жақсырақ түсіну үшін біз графикалық иллюстрацияларды береміз.

Бетті шарлау.

Кеңістіктегі түзу – бұл ұғым.

Кеңістіктегі параллель түзулердің анықтамасын бергеннен кейін олардың маңыздылығына байланысты түзудің бағыт векторлары туралы айту керек. Осы түзудің бойында немесе оған параллель болатын түзудің бойында жатқан кез келген нөлдік емес вектор түзудің бағыт векторы деп аталады. Кеңістіктегі түзуге қатысты есептерді шығарғанда түзудің бағыт векторы өте жиі қолданылады.

Ақырында, үш өлшемді кеңістіктегі екі сызық қиылысуы мүмкін. Кеңістіктегі екі түзу бір жазықтықта жатпаса, қисық деп аталады. Кеңістіктегі екі түзудің бұл өзара орналасуы бізді қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш ұғымына әкеледі.

Кеңістікте түзу сызықты анықтау әдістері.

Кеңістікте түзу сызықты бірегей түрде анықтаудың бірнеше жолы бар. Негізгілерін тізіп көрейік.

Аксиомадан түзу екі нүкте арқылы өтетінін білеміз, тек бір ғана. Осылайша, егер кеңістікте екі нүктені белгілесек, бұл олар арқылы өтетін түзуді бір мәнді анықтауға мүмкіндік береді.

Егер үш өлшемді кеңістікке тікбұрышты координаталар жүйесі енгізілсе және оның екі нүктесінің координаталарын көрсету арқылы түзу нақтыланса, онда берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін құруға мүмкіндік аламыз.

Кеңістіктегі түзуді анықтаудың екінші әдісі теоремаға негізделген: берілген түзудің бойында жатпайтын кеңістіктің кез келген нүктесі арқылы берілгенге параллель түзу өтеді және тек біреу ғана.

Сонымен, егер түзуді (немесе осы түзудің кесіндісін) және онда жатпайтын нүктені көрсетсек, онда берілгенге параллель және берілген нүкте арқылы өтетін түзуді бірегей түрде анықтаймыз.

Түзу өтетін нүктені және оның бағыт векторын көрсетуге болады. Бұл сонымен қатар түзу сызықты бір мәнді анықтауға мүмкіндік береді.

Егер түзу қозғалмайтын тікбұрышты координаталар жүйесіне қатысты осылай көрсетілсе, онда оның кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулерін және кеңістіктегі түзудің параметрлік теңдеулерін бірден жаза аламыз.

Кеңістіктегі түзуді анықтаудың келесі әдісі стереометрия аксиомасына негізделген: егер екі жазықтықтың ортақ нүктесі болса, онда оларда осы жазықтықтардың барлық ортақ нүктелері жататын ортақ түзу болады.

Осылайша, қиылысатын екі жазықтықты анықтау арқылы біз кеңістіктегі түзуді бірегей түрде анықтаймыз.

Кеңістіктегі түзуді анықтаудың тағы бір жолы теоремадан туындайды (оның дәлелін осы мақаланың соңында келтірілген кітаптардан табуға болады): егер жазықтық пен онда жатпайтын нүкте берілсе, онда бір түзу өтетін болады. осы нүкте арқылы және берілген жазықтыққа перпендикуляр.

Осылайша, түзуді анықтау үшін қажетті түзу перпендикуляр болатын жазықтықты және осы түзу өтетін нүктені көрсетуге болады.

Егер түзу енгізілген тікбұрышты координаталар жүйесіне қатысты осылай көрсетілсе, онда берілген жазықтыққа перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі туралы мақаланың материалын білу пайдалы болады.

Анықтамалар.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 сыныптар: жалпы білім беретін оқу орындарына арналған оқулық.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 10-11 сыныптарына арналған оқулық.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Жоғары математика. Бірінші том: сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитикалық геометрия.

cleverstudent авторлық құқық

Барлық құқықтар қорғалған.
Авторлық құқық туралы заңмен қорғалған. Сайттың ешбір бөлігін, оның ішінде ішкі материалдар мен сыртқы түрін авторлық құқық иесінің алдын ала жазбаша рұқсатынсыз кез келген нысанда көшіруге немесе пайдалануға болмайды.