Un parallélépipède est un prisme dont les bases sont des parallélogrammes. Dans ce cas, toutes les arêtes seront parallélogrammes.
Chaque parallélépipède peut être considéré comme un prisme de trois manières différentes, puisque toutes les deux faces opposées peuvent être prises comme bases (sur la figure 5, les faces ABCD et A"B"C"D", ou ABA"B" et CDC"D" , ou BCB "C" et ADA "D").
Le corps en question possède douze arêtes, quatre égales et parallèles entre elles.
Théorème 3 . Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point, coïncidant avec le milieu de chacune d'elles.
Le parallélépipède ABCDA "B" C "D" (Fig. 5) possède quatre diagonales AC", BD", CA", DB". Nous devons prouver que les milieux de deux d'entre eux, par exemple AC et BD", coïncident. Cela découle du fait que la figure ABC "D", ayant les côtés égaux et parallèles AB et C "D", est un parallélogramme.
Définition 7 . Un parallélépipède droit est un parallélépipède qui est aussi un prisme droit, c'est-à-dire un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires au plan de la base.
Définition 8 . Un parallélépipède rectangle est un parallélépipède rectangle dont la base est un rectangle. Dans ce cas, toutes ses faces seront des rectangles.
Un parallélépipède rectangle est un prisme droit, quelle que soit la face que l'on prend comme base, puisque chacune de ses arêtes est perpendiculaire aux arêtes émergeant du même sommet, et sera donc perpendiculaire aux plans des faces définies par ces bords. En revanche, un parallélépipède droit, mais non rectangulaire, ne peut être considéré comme un prisme droit que d’une seule manière.
Définition 9 . Les longueurs de trois arêtes d'un parallélépipède rectangle, dont aucune n'est parallèle entre elles (par exemple, trois arêtes émergeant du même sommet), sont appelées ses dimensions. Deux parallélépipèdes rectangles ayant des dimensions correspondantes égales sont évidemment égaux l'un à l'autre.
Définition 10 .Un cube est un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont égales entre elles, de sorte que toutes ses faces sont des carrés. Deux cubes dont les bords sont égaux sont égaux.
Définition 11 . Un parallélépipède incliné dans lequel toutes les arêtes sont égales les unes aux autres et les angles de toutes les faces sont égaux ou complémentaires est appelé un rhomboèdre.
Toutes les faces d’un rhomboèdre sont des losanges égaux. (Certains cristaux de grande importance ont une forme de rhomboèdre, par exemple les cristaux de longeron d'Islande.) Dans un rhomboèdre, vous pouvez trouver un sommet (et même deux sommets opposés) tel que tous les angles adjacents soient égaux les uns aux autres.
Théorème 4 . Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales entre elles. Le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des trois dimensions.
Dans le parallélépipède rectangle ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), les diagonales AC" et BD" sont égales, puisque le quadrilatère ABC"D" est un rectangle (la droite AB est perpendiculaire au plan ECB" C", dans lequel se trouve BC") .
De plus, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 basé sur le théorème du carré de l'hypoténuse. Mais basé sur le même théorème AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 ; d'où nous avoir:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

Ou (de manière équivalente) un polyèdre, qui a six faces et chacune d'elles - parallélogramme.

Types de parallélépipède

Il existe plusieurs types de parallélépipèdes :

• Un cuboïde est un parallélépipède dont les faces sont toutes des rectangles.
• Un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les 4 faces latérales sont des rectangles.
• Un parallélépipède incliné est un parallélépipède dont les faces latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases.

Éléments essentiels

Deux faces d'un parallélépipède qui n'ont pas d'arête commune sont dites opposées, et celles qui ont une arête commune sont dites adjacentes. Deux sommets d'un parallélépipède n'appartenant pas à la même face sont dits opposés. Le segment reliant les sommets opposés est appelé la diagonale du parallélépipède. Les longueurs de trois arêtes d’un parallélépipède rectangle qui ont un sommet commun sont appelées ses dimensions.

Propriétés

• Le parallélépipède est symétrique par rapport au milieu de sa diagonale.
• Tout segment dont les extrémités appartiennent à la surface du parallélépipède et passant par le milieu de sa diagonale est divisé en deux par celui-ci ; en particulier, toutes les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par celui-ci.
• Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.
• Le carré de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.

Formules de base

Parallélépipède droit

Surface latérale S b =P o *h, où P o est le périmètre de la base, h est la hauteur

Superficie totale S p =S b +2S o, où S o est l'aire de base

Volume V=S o *h

Parallélépipède rectangulaire

Surface latérale S b =2c(a+b), où a, b sont les côtés de la base, c est le bord latéral du parallélépipède rectangle

Superficie totale Sp =2(ab+bc+ac)

Volume V=abc, où a, b, c sont les dimensions d'un parallélépipède rectangle.

cube

Superficie: $S=6a^2$
Volume: $V\; =\; un\; ^\; 3$, Où $un$- arête d'un cube.

Tout parallélépipède

Le volume et les rapports dans un parallélépipède incliné sont souvent déterminés à l'aide de l'algèbre vectorielle. Le volume d'un parallélépipède est égal à la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs déterminé par les trois côtés du parallélépipède issus d'un sommet. La relation entre les longueurs des côtés du parallélépipède et les angles entre eux donne l'affirmation que le déterminant de Gram des trois vecteurs indiqués est égal au carré de leur produit mixte : 215.

En analyse mathématique

En analyse mathématique sous un cuboïde à n dimensions $B$ comprendre de nombreux points $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ gentil $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

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Remarques

Liens

Correct Correct non convexe Convexe Formules, théorèmes, théories Autre

Un extrait caractérisant le Parallélépipède

- On dit que les rivaux se sont réconciliés grâce à l'angine... [On dit que les rivaux se sont réconciliés grâce à cette maladie.]
Le mot angine fut répété avec grand plaisir.
– Le vieux comte est touchant à ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas était dangereux. [Le vieux comte est très touchant, dit-on. Il pleurait comme un enfant quand le docteur a dit ce cas dangereux.]
- Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [Oh, ce serait une grande perte. Une femme si charmante.]
« Vous parlez de la pauvre comtesse », dit Anna Pavlovna en s'approchant. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde", a déclaré Anna Pavlovna en souriant de son enthousiasme. – Nous appartenons à des camps différents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le mérite. Elle est bien malheureuse, [Vous parlez de la pauvre comtesse... J'ai envoyé s'informer de sa santé. Ils m'ont dit qu'elle se sentait un peu mieux. Oh, c'est sans aucun doute la plus belle femme du monde. Nous appartenons à des camps différents, mais cela ne m'empêche pas de la respecter pour ses mérites. Elle est si malheureuse.] – a ajouté Anna Pavlovna.
Croyant qu'avec ces mots Anna Pavlovna levait légèrement le voile du secret sur la maladie de la comtesse, un jeune homme insouciant s'est permis d'exprimer sa surprise que des médecins célèbres n'aient pas été appelés, mais que la comtesse soit soignée par un charlatan qui pourrait donner des risques dangereux. remèdes.
«Vos informations peuvent être meilleures que les miennes», a soudainement attaqué avec venin le jeune homme inexpérimenté. – Mais je sais de bonne source que ce médecin est un homme très savant et très habile. C"est le médecin intime de la Reine d"Espagne. [Vos nouvelles sont peut-être plus précises que les miennes... mais je sais de bonnes sources que ce médecin est une personne très instruite et habile. C'est le médecin de la vie de la reine d'Espagne.] - Et détruisant ainsi le jeune homme, Anna Pavlovna se tourna vers Bilibin, qui, dans un autre cercle, ramassa la peau et, apparemment, sur le point de la desserrer pour dire un mot, parla à propos des Autrichiens.
« Je trouve que c'est charmant ! », dit-il à propos du papier diplomatique avec lequel les bannières autrichiennes prises par Wittgenstein étaient envoyées à Vienne, le heros de Petropol [le héros de Petropol] (comme il a été appelé à Pétersbourg).
- Comment, comment ça se passe ? - Anna Pavlovna se tourna vers lui, éveillant le silence pour entendre le mot qu'elle connaissait déjà.
Et Bilibine a répété les mots originaux suivants de la dépêche diplomatique qu'il a composée :
« L'Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens, dit Bilibin, drapeaux amis et égares qu'il a trouvé hors de la route, » termina Bilibin en relâchant la peau.
"Charmant, charmant, [Charmant, charmant", a déclaré le prince Vasily.
"C"est la route de Varsovie peut être, [C'est la route de Varsovie, peut-être.] - dit le prince Hippolyte d'une voix forte et inattendue. Tout le monde le regarda, ne comprenant pas ce qu'il voulait dire par là. Le prince Hippolyte se retourna également avec une joyeuse surprise autour de lui. Comme d'autres, il ne comprenait pas ce que signifiaient les mots qu'il prononçait. Au cours de sa carrière diplomatique, il remarqua plus d'une fois que les mots prononcés de cette manière se révélaient soudainement très spirituels, et il les prononça. mots juste au cas où. "Peut-être que ça marchera très bien", pensa-t-il, "et si ça ne marche pas, ils pourront en effet s'arranger là-bas." un silence gênant régna, ce visage insuffisamment patriotique entra. Anna Pavlovna, et elle, souriant et secouant le doigt vers Ippolit, invita le prince Vasily à table et, lui présentant deux bougies et un manuscrit, lui demanda de commencer. .

Parallélépipède rectangulaire

Un parallélépipède rectangle est un parallélépipède rectangle dont toutes ses faces sont des rectangles.

Il suffit de regarder autour de nous, et nous verrons que les objets qui nous entourent ont une forme semblable à un parallélépipède. Ils peuvent être distingués par la couleur, comportent de nombreux détails supplémentaires, mais si ces subtilités sont ignorées, nous pouvons alors dire que, par exemple, une armoire, une boîte, etc., ont à peu près la même forme.

Nous rencontrons presque tous les jours le concept d’un parallélépipède rectangle ! Regardez autour de vous et dites-moi où vous voyez des parallélépipèdes rectangles ? Regardez le livre, c'est exactement la même forme ! Une brique, une boîte d'allumettes, un bloc de bois ont la même forme, et même en ce moment vous vous trouvez à l'intérieur d'un parallélépipède rectangle, car la salle de classe est l'interprétation la plus lumineuse de cette figure géométrique.

Exercice: Quels exemples de parallélépipède pouvez-vous citer ?

Regardons de plus près le cuboïde. Et que voit-on ?

On voit d'abord que cette figure est formée de six rectangles, qui sont les faces d'un cuboïde ;

Deuxièmement, un cuboïde a huit sommets et douze arêtes. Les bords d'un cuboïde sont les côtés de ses faces et les sommets du cuboïde sont les sommets des faces.

Exercice:

1. Quel est le nom de chacune des faces d’un parallélépipède rectangle ? 2. Grâce à quels paramètres peut-on mesurer un parallélogramme ? 3. Définissez les faces opposées.

Types de parallélépipèdes

Mais les parallélépipèdes ne sont pas seulement rectangulaires, mais ils peuvent aussi être droits et inclinés, et les lignes droites sont divisées en rectangulaires, non rectangulaires et en cubes.

Devoir : Regardez l'image et dites quels parallélépipèdes y sont représentés. En quoi un parallélépipède rectangle diffère-t-il d'un cube ?

Propriétés d'un parallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle a un certain nombre de propriétés importantes :

Premièrement, le carré de la diagonale de cette figure géométrique est égal à la somme des carrés de ses trois paramètres principaux : hauteur, largeur et longueur.

Deuxièmement, ses quatre diagonales sont absolument identiques.

Troisièmement, si les trois paramètres d'un parallélépipède sont identiques, c'est-à-dire que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales, alors un tel parallélépipède est appelé un cube et toutes ses faces seront égales au même carré.

Exercice

1. Un parallélépipède rectangle a-t-il des côtés égaux ? S'il y en a, montrez-les sur la figure. 2. De quelles formes géométriques sont constituées les faces d'un parallélépipède rectangle ? 3. Quelle est la disposition des arêtes égales les unes par rapport aux autres ? 4. Nommez le nombre de paires de faces égales de cette figure. 5. Trouvez les bords d'un parallélépipède rectangle qui indiquent sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Combien en as-tu compté ?

Tâche

Pour joliment décorer un cadeau d'anniversaire pour sa mère, Tanya a pris une boîte en forme de parallélépipède rectangle. La taille de cette boîte est de 25 cm*35 cm*45 cm. Pour embellir cet emballage, Tanya a décidé de le recouvrir d'un beau papier dont le coût est de 3 hryvnia pour 1 dm2. Combien d’argent devriez-vous dépenser en papier d’emballage ?

Savez-vous que le célèbre illusionniste David Blaine a passé 44 jours dans un parallélépipède de verre suspendu au-dessus de la Tamise dans le cadre d'une expérience. Pendant ces 44 jours, il ne mangea pas, mais but seulement de l'eau. Dans sa prison volontaire, David n'a emporté que du matériel d'écriture, un oreiller, un matelas et des mouchoirs.

Il sera utile aux lycéens d'apprendre à résoudre les problèmes de l'examen d'État unifié pour trouver le volume et d'autres paramètres inconnus d'un parallélépipède rectangle. L'expérience des années précédentes confirme le fait que de telles tâches sont assez difficiles pour de nombreux diplômés.

Dans le même temps, les lycéens, quel que soit leur niveau de formation, doivent comprendre comment trouver le volume ou l'aire d'un parallélépipède rectangle. Ce n'est que dans ce cas qu'ils pourront compter sur des scores compétitifs basés sur les résultats de l'examen d'État unifié en mathématiques.

Points clés à retenir

• Les parallélogrammes qui composent un parallélépipède sont ses faces, leurs côtés sont ses arêtes. Les sommets de ces figures sont considérés comme les sommets du polyèdre lui-même.
• Toutes les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales. Puisqu’il s’agit d’un polyèdre droit, les faces latérales sont des rectangles.
• Puisqu’un parallélépipède est un prisme avec un parallélogramme à sa base, cette figure possède toutes les propriétés d’un prisme.
• Les bords latéraux d'un parallélépipède rectangle sont perpendiculaires à la base. Ce sont donc ses hauteurs.

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Voyez si vous pouvez facilement trouver le volume d’un parallélépipède rectangle dès maintenant. Analysez n’importe quelle tâche. Si l’exercice est facile pour vous, passez à des tâches plus difficiles. Et si certaines difficultés surviennent, nous vous recommandons de planifier votre journée de manière à ce que votre emploi du temps comprenne des cours avec le portail distant Shkolkovo.

Définition

Polyèdre nous appellerons une surface fermée composée de polygones et délimitant une certaine partie de l'espace.

Les segments qui constituent les côtés de ces polygones sont appelés côtes polyèdre, et les polygones eux-mêmes sont bords. Les sommets des polygones sont appelés sommets des polyèdres.

Nous ne considérerons que les polyèdres convexes (c'est un polyèdre qui se situe d'un côté de chaque plan contenant sa face).

Les polygones qui composent un polyèdre forment sa surface. La partie de l’espace délimitée par un polyèdre donné est appelée son intérieur.

Définition : prisme

Considérons deux polygones égaux \(A_1A_2A_3...A_n\) et \(B_1B_2B_3...B_n\) situés dans des plans parallèles de sorte que les segments \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallèle. Un polyèdre formé des polygones \(A_1A_2A_3...A_n\) et \(B_1B_2B_3...B_n\) , ainsi que des parallélogrammes \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), est appelé (\(n\)-gonal) prisme.

Les polygones \(A_1A_2A_3...A_n\) et \(B_1B_2B_3...B_n\) sont appelés bases de prisme, parallélogrammes \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faces latérales, segments \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- des côtes latérales.
Ainsi, les bords latéraux du prisme sont parallèles et égaux entre eux.

Regardons un exemple - un prisme \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), à la base duquel se trouve un pentagone convexe.

Hauteur les prismes sont une perpendiculaire tombant de n'importe quel point d'une base au plan d'une autre base.

Si les bords latéraux ne sont pas perpendiculaires à la base, alors un tel prisme est appelé incliné(Fig. 1), sinon – droit. Dans un prisme droit, les bords latéraux sont des hauteurs et les faces latérales sont des rectangles égaux.

Si un polygone régulier se trouve à la base d’un prisme droit, alors le prisme est appelé correct.

Définition : notion de volume

L'unité de mesure du volume est un cube unitaire (un cube mesurant \(1\times1\times1\) unités\(^3\), où l'unité est une certaine unité de mesure).

On peut dire que le volume d’un polyèdre est la quantité d’espace que limite ce polyèdre. Sinon : il s'agit d'une quantité dont la valeur numérique indique combien de fois un cube unité et ses parties rentrent dans un polyèdre donné.

Le volume a les mêmes propriétés que la surface :

1. Les volumes de chiffres égaux sont égaux.

2. Si un polyèdre est composé de plusieurs polyèdres non sécants, alors son volume est égal à la somme des volumes de ces polyèdres.

3. Le volume est une quantité non négative.

4. Le volume est mesuré en cm\(^3\) (centimètres cubes), m\(^3\) (mètres cubes), etc.

Théorème

1. L'aire de la surface latérale du prisme est égale au produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme.
La surface latérale est la somme des aires des faces latérales du prisme.

2. Le volume du prisme est égal au produit de l'aire de base et de la hauteur du prisme : \

Définition : parallélépipède

Parallélépipède est un prisme avec un parallélogramme à sa base.

Toutes les faces du parallélépipède (il y a \(6\) : \(4\) faces latérales et \(2\) bases) sont des parallélogrammes, et les faces opposées (parallèles entre elles) sont des parallélogrammes égaux (Fig. 2) .

Diagonale d'un parallélépipède est un segment reliant deux sommets d'un parallélépipède qui ne se trouvent pas sur la même face (il y en a \(8\) : \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etc.).

Parallélépipède rectangulaire est un parallélépipède droit avec à sa base un rectangle.
Parce que Puisqu’il s’agit d’un parallélépipède rectangle, les faces latérales sont des rectangles. Cela signifie qu’en général toutes les faces d’un parallélépipède rectangle sont des rectangles.

Toutes les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales (cela découle de l'égalité des triangles \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) etc.).

Commentaire

Ainsi, un parallélépipède possède toutes les propriétés d’un prisme.

Théorème

La surface latérale d'un parallélépipède rectangle est \

La surface totale d'un parallélépipède rectangle est \

Théorème

Le volume d'un cuboïde est égal au produit de ses trois arêtes émergeant d'un sommet (trois dimensions du cuboïde) : \

Preuve

Parce que Dans un parallélépipède rectangle, les bords latéraux sont perpendiculaires à la base, ils sont donc aussi ses hauteurs, c'est-à-dire \(h=AA_1=c\) Car la base est un rectangle, alors \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). C'est de là que vient cette formule.

Théorème

La diagonale \(d\) d'un parallélépipède rectangle se trouve à l'aide de la formule (où \(a,b,c\) sont les dimensions du parallélépipède rectangle) \

Preuve

Regardons la fig. 3. Parce que la base est un rectangle, alors \(\triangle ABD\) est rectangulaire, donc, par le théorème de Pythagore \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Parce que tous les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases, alors \(BB_1\perp (ABC) \Flèche droite BB_1\) perpendiculaire à toute droite dans ce plan, c'est-à-dire \(BB_1\perp BD\) . Cela signifie que \(\triangle BB_1D\) est rectangulaire. Alors, d'après le théorème de Pythagore \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.

Définition : cube

cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés égaux.

Ainsi, les trois dimensions sont égales entre elles : \(a=b=c\) . Donc ce qui suit est vrai

Théorèmes

1. Le volume d'un cube d'arête \(a\) est égal à \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. La diagonale du cube est trouvée à l'aide de la formule \(d=a\sqrt3\) .

3. Surface totale d'un cube \(S_(\text(cube complet))=6a^2\).