Na kraju poglavlja 1 govorili smo o tome da na kursu algebre treba naučiti da realne situacije opišemo riječima (verbalni model), algebarski (algebarski ili, kako matematičari češće kažu, analitički model), grafički (grafički model). ili geometrijski model). Cijeli prvi dio udžbenik(poglavlja 1-5) bila je posvećena proučavanju matematičkog jezika kojim se opisuju analitički modeli.

Počevši od 6. poglavlja, proučavaćemo ne samo nove analitičke, već i grafičke (geometrijske) modele. Oni se konstruišu pomoću koordinatne linije, koordinatna ravan. Ovi pojmovi su vam pomalo poznati iz kursa matematike od 5. do 6. razreda.

Direktna linija /, na kojoj je odabrana početna dot O (poreklo), razmjer (jedinica linijski segment, tj. segment čija se dužina smatra jednakom 1) a pozitivan smjer naziva se koordinatna linija, odnosno koordinatna osa (slika 7); Termin "x-osa" se također koristi.

Svaki broj odgovara jednoj tački na pravoj. Na primjer, broj 3,5 odgovara tački M (slika 8), koja je udaljena od početka, odnosno od tačke O, na udaljenosti jednakoj 3,5 (na datoj skali), a odgođena od tačke O na datoj (pozitivan) smjer. Broj -4 odgovara tački P (vidi sliku 8), koja je udaljena od tačke O na udaljenosti jednakoj 4, a položena je od tačke O u negativnom smjeru, odnosno u smjeru suprotnom od datog.

Važi i obrnuto: svaka tačka na koordinatnoj liniji odgovara jednom broju.

Na primjer, tačka K, na udaljenosti od 5,4 od tačke O u pozitivnom (datom) smjeru, odgovara broju 5,4, a tačka N, na udaljenosti od 2,1 od tačke O u negativnom smjeru, odgovara broju - 2.1 (vidi sliku 8).

Navedeni brojevi se nazivaju koordinate odgovarajućih tačaka. Dakle, na sl. 8 tačka K ima koordinate 5,4; tačka P - koordinata -4; tačka M - koordinata 3.5; tačka N - koordinata -2,1; tačka O - koordinata 0 (nula). Odatle dolazi naziv "koordinatna linija". Slikovito rečeno, koordinatna linija je gusto naseljena kuća, stanovnici ove kuće su tačke, a koordinate tačaka su brojevi stanova u kojima stanuju tačke.

Zašto je potrebna koordinatna linija? Zašto karakterizirati tačku brojem, a broj tačkom? Ima li koristi od ovoga? Da imam.
Neka su, na primjer, dvije tačke date na koordinatnoj liniji: A - sa koordinatom o i B - sa koordinatom b (obično u takvim slučajevima pišu kraće:
A(a), B(b)). Hajde da pronađemo rastojanje d između tačaka A i B. Ispostavilo se da umesto da radimo geometrijska mjerenja, samo koristite gotovu formulu d = (a - b) (učili ste je u 6. razredu).
Dakle, na slici 8 imamo:

Težeći sažetosti rasuđivanja, matematičari su se složili da umjesto dugačke fraze „tačka A koordinatne prave koja ima koordinatu a“ koriste kratku frazu: „tačka a“, i, shodno tome, na crtežu je dotična tačka označena svojim koordinata. Dakle, na slici 9 prikazana je koordinatna linija na kojoj su označene tačke - 4; - 2,1; 0; 1; 3.5; 5.4.

Koordinatna linija nam daje mogućnost da slobodno prelazimo sa algebarskog na geometrijski jezik i nazad. Neka je, na primjer, broj a manji od broja b. U algebarskom jeziku ovo se piše na sljedeći način: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Međutim, i algebarski i geometrijski jezici su varijante istog matematičkog jezika koji proučavamo.

Hajde da se upoznamo sa još nekoliko elemenata matematičkog jezika koji su povezani sa koordinatnom linijom.

1. Neka je tačka a označena na koordinatnoj liniji. Razmotrimo sve tačke koje leže na pravoj liniji desno od tačke a i označimo odgovarajući deo koordinatnom ravnom šrafiranjem (slika 10). Ovaj skup tačaka (brojeva) naziva se otvoreni zrak i označava (a, +oo), pri čemu znak +oo glasi: “plus beskonačnost”; karakterizira ga nejednakost x > a (pod dz podrazumijevamo bilo koju tačku na zraku).

Imajte na umu: tačka a ne pripada otvorenoj gredi, ali ako ovu tačku treba pričvrstiti na otvorenu gredu, upišite x > a ili, shodno tome, prebojite tačku b na crtežu (Sl. 13);

za (- oo, b) koristićemo i termin zraka.

3. Neka su tačke a i b označene na koordinatnoj liniji, a a< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Ovaj skup (brojeva) naziva se interval i označava se (a, b).

Karakterizira ga stroga dvostruka nejednakost a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Imajte na umu: interval (a, b) je sjecište (zajednički dio) dvije otvorene zrake (-oo, b) i (a, + oo) - to je jasno vidljivo na slici 15.

Ako dodate njegove krajeve intervalu (a, b), odnosno tačke a i b, dobićete segment [a, b] (slika 16),

koju karakterizira nestroga dvostruka nejednakost a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Segment [a, b] je presjek (zajednički dio) dviju zraka (-oo, b] i koji se karakterizira dvostrukim nejednačinama: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Dakle, uveli smo pet novih pojmova u matematički jezik: zrak, otvoreni zrak, interval, segment, poluinterval. Postoji i opšti pojam: numerički intervali.

Sama koordinatna linija se također smatra brojevnim intervalom; za to se koristi notacija (-oo, +oo).

Matematika za 7. razred besplatno preuzimanje, planovi časova, priprema za školu online

A. V. Pogorelov, Geometrija za 7-11 razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Sadržaj lekcije beleške sa lekcija podrška okvirnoj prezentaciji lekcija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, obuke, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku, elementi inovacije u lekciji, zamjena zastarjelog znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu; Integrisane lekcije

Tema lekcije:

« Direktne koordinate»

Svrha lekcije:

Upoznati učenike sa koordinatnom linijom i negativnim brojevima.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: upoznati učenike sa koordinatnom linijom i negativnim brojevima.

Razvojni: razvoj logičkog mišljenja, širenje vidika.

Vaspitno: razvijanje kognitivnog interesovanja, vaspitanje informacione kulture.

Plan lekcije:

Org moment. Provjera učenika i njihove spremnosti za nastavu.

Ažuriranje osnovnih znanja. Usmena anketa studenata o obrađenoj temi.

Objašnjenje novog materijala.

4. Učvršćivanje naučenog materijala.

5. Rezimirajući. Sažetak onoga što je naučeno na lekciji. Pitanja studenata.

6. Zaključci. Sumiranje glavnih tačaka lekcije. Procjena znanja. Pravljenje oznaka.

7. Zadaća. Samostalni rad učenika sa proučavanim gradivom.

Oprema: kreda, tabla, tobogani.

Detaljan okvirni plan

Scensko ime i sadržaj

Aktivnost

Aktivnost

studenti

Faza I

Org moment. Pozdrav.

Popunjavanje dnevnika.

pozdravi razred, razredni starešina daje spisak odsutnih.

pozdravi se

nastavnik

Faza II

Ažuriranje osnovnih znanja.

Drevni grčki naučnik Pitagora je rekao: „Brojevi vladaju svetom. Ti i ja živimo u ovom svijetu brojeva, a tokom školskih godina učimo da radimo sa različitim brojevima.

1 Koje brojeve već znamo za današnju lekciju?

2 Koje probleme nam ovi brojevi pomažu da riješimo?

Danas prelazimo na proučavanje drugog poglavlja našeg udžbenika “Racionalni brojevi”, gdje ćemo proširiti svoja znanja o brojevima, a nakon proučavanja cijelog poglavlja “Racionalni brojevi” naučit ćemo da izvodimo sve radnje koje znate sa njima. i počnite s temom koordinatne linije.

1.prirodni, obični razlomci, decimale

2.sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, pronalaženje razlomaka iz broja i broja iz njegovog razlomka, rješavanje raznih jednadžbi i zadataka

Faza III

Objašnjenje novog materijala.

Uzmimo pravu AB i podijelimo je sa tačkom O na dva dodatna zraka - OA i OB. Odaberimo jedinični segment na pravoj liniji i uzmimo tačku O kao ishodište i pravac.

definicije:

Prava linija s referentnom točkom, jediničnim segmentom i smjerom odabranim na njoj naziva se koordinatna linija.

Broj koji pokazuje položaj tačke na pravoj naziva se koordinata ove tačke.

Kako konstruisati koordinatnu liniju?

napravi direktan

postavite jedinični segment

naznačiti pravac

Koordinatna linija može se prikazati na različite načine: vodoravno, okomito i pod bilo kojim drugim kutom prema horizontu, i ima početak, ali nema kraj.

Vježba 1. Koje od sljedećih linija nisu koordinatne (slajd)?

Nacrtajmo koordinatnu liniju, označimo ishodište, jedinični segment i iscrtajmo tačke 1,2,3,4 i tako dalje lijevo i desno.

Pogledajmo rezultirajuću koordinatnu liniju. Zašto je tako ravna linija nezgodna?

Smjer udesno od početka naziva se pozitivnim, a smjer na pravoj liniji označen je strelicom. Brojevi koji se nalaze desno od tačke O nazivaju se pozitivni. Negativni brojevi se postavljaju lijevo od tačke O, a smjer lijevo od tačke O naziva se negativnim (negativni smjer nije naznačen). Ako se koordinatna linija nalazi okomito, tada su brojevi iznad ishodišta pozitivni, a brojevi ispod ishodišta negativni. Negativni brojevi se pišu sa znakom "-". Čitaju: „minus jedan“, „minus dva“, „minus tri“ itd. Broj 0 – ishodište nije ni pozitivan ni negativan broj. Odvaja pozitivne od negativnih brojeva.

Rješavanje jednadžbi i koncepta „duga“ u trgovačkim kalkulacijama dovelo je do pojave negativnih brojeva.

Negativni brojevi pojavili su se mnogo kasnije od prirodnih brojeva i običnih razlomaka. Prve informacije o negativnim brojevima pronašli su kineski matematičari u 2. veku. BC e. Pozitivni brojevi su tada tumačeni kao imovina, a negativni kao dug, nestašica. U Evropi je priznanje došlo hiljadu godina kasnije, a čak i tada, dugo vremena, negativni brojevi su nazivani “lažnim”, “imaginarnim” ili “apsurdnim”. U 17. veku negativni brojevi su dobili vizuelni geometrijski prikaz na brojevnoj osi

Možete dati i primjere koordinatne linije: termometar, poređenje planinskih vrhova i depresija (nivo mora se uzima kao nula), udaljenost na karti, šaht lifta, kuće, dizalice.

Razmisli Znate li još neke primjere koordinatne linije?

Zadaci.

Zadatak2. Imenujte koordinate tačaka.

Zadatak 3. Iscrtajte tačke na koordinatnoj liniji

Zadatak4 . Nacrtajte vodoravnu liniju i na njoj označite tačku A, B, C, K ako znate da:

A je 9 ćelija desno od O;

B je lijevo od O za 6,5 ​​ćelija;

C je 3½ kvadrata desno od O;

K je 3 kvadrata lijevo od O .

Snimljeno u pratećim bilješkama.

Slušaju i dopunjuju.

Izvršavaju zadatak u svojoj svesci, a zatim naglas objašnjavaju svoje odgovore.

Nacrtajte i označite početak jediničnog segmenta

Takva prava linija je nezgodna jer dvije tačke na pravoj liniji odgovaraju istom broju.

Istorija pne i naše doba.

Faza IV

Konsolidacija proučenog materijala.

1.Šta je koordinatna linija?

2.Kako konstruisati koordinatnu liniju?

1. Prava linija sa referentnom točkom, jediničnim segmentom i na njoj odabranim smjerom naziva se koordinatna linija

2) sprovesti direktnu

označite početak odbrojavanja na njemu

postavite jedinični segment

naznačiti pravac

Faza V

Rezimirajući

Šta smo danas novo naučili?

Koordinatna linija i negativni brojevi.

Faza VI

Procjena znanja. Pravljenje oznaka.

Zadaća.

Smislite pitanja o obrađenoj temi (znajte odgovore na njih)

Koordinatna linija naziva se prava linija na kojoj je odabran početak (nula), jedinični segment i smjer. Svaki prirodni broj može biti povezan s jednom tačkom na koordinatnoj liniji.

Da biste uporedili dva broja koja se nalaze na koordinatnoj liniji, morate obratiti pažnju na to kako se nalaze jedan u odnosu na drugi.

Ako se broj a nalazi lijevo od broja b, tada je a< b

Ako se broj a nalazi desno od broja b, tada je a > b

U OGE postoji nekoliko vrsta zadataka koji se odnose na lociranje brojeva na koordinatnoj liniji. Da bismo počeli rješavati primjere, prisjetimo se još nekih koncepata.

Apsolutna vrijednost broja

| a | = ( a , a > 0 0 , a = 0 − a , a< 0

Modul bira znakove iz brojeva.

Ako je broj pozitivno

Ako je broj jednaka nuli, tada kada se uzme modul nula, rezultat je nula.

Ako je broj negativan , onda kada se uzme modul ovog broja, rezultat je pozitivan broj.

primjeri:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

Sigurno imate pitanje: zašto u formuli proširenja modula | a | = − a , ako   a< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, razmislimo o tome kako ukloniti znak minus s negativnog broja? Ako se negativan broj pomnoži sa −1, postaje pozitivan.

primjeri:

| − 1 | = − (− 1) = 1

| − 5 | = − (− 5) = 5

Kvadratni korijen broja

a— aritmetički kvadratni korijen nenegativnog broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a.

Matematika. 6 Klasa. Test 2. Opcija 1 .

1. Dužina pravougaonika je 8 cm, širina 6 cm S obzirom na konstantnu površinu ovog pravougaonika, saznajte kolika će biti dužina ako širina postane 4 cm.

A) 14 cm; IN) 10 cm; SA) 30 cm; D) 15 cm; E) 12 cm.

2 . Pronađite nepoznatu proporciju:

A) 45;IN) 6,5; SA) 4,5; D) 3,5; E) 1,5.

3 . Navedite naziv skupa tačaka na ravni koja je jednako udaljena od tačke O.

A) kvadrat; IN) pravougaonik; SA) krug; D) krug; E) trougao.

4. Zapišite skup djelitelja broja 24 navodeći elemente.

A) {1; 2; 8; 12; 24}; B) {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}; C) {1; 24}; D) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 12; 24}; E) {1; 4; 6; 8; 24}.

5 . Naći uniju skupova A i B ako je: A=(-5; 0; 5; 13), B=(-5; 10; 13).

A) {-5; 5}; B) {-5; 5; 13}; C) {10}; D) {-5; 13}; E) {-5; 0; 5; 10; 13}.

6. Na koordinatnoj liniji, pravac... od početka se uzima kao pozitivan pravac.

A) lijevo; IN) dolje; SA) gore; D) desno; E) u bilo kom pravcu.

7 . Tačke A i B su označene na koordinatnoj liniji. Pronađite koordinate svake tačke.

A) A(-3), B(2); IN) A(-2), B(1,5); SA) A(-1), B(1,5); D) A(-4), B(2,5); E) A(-2), B(2).

8. Suprotnost negativnom broju je broj... .

A) suprotno ; IN) null; SA) negativan; D) suprotno; E) pozitivno.

9. Zapišite broj umjesto zvjezdice tako da jednakost vrijedi: - (*)=10.

A) 10;IN) -10; SA) -2;D) -5; E) -100.

10 . Od sljedećih brojeva: -3; -1; 0; 1; 1.2; 3; 6 odaberite sve prirodno.

A) -3; -1; 1; 6; B) 1; 6;C) 1; 3; 6; D) -3; 1,2; E) -3; -1; 0.

11. ... brojevi imenuju udaljenost (u jediničnim segmentima) na koordinatnoj liniji od početka do tačke koja predstavlja broj.

A) kvadrat; IN) kocka; SA) stav; D) modul; E) norma.

12. Izvršite radnje: |-64|:|1.6|.

A) -40; B) 40; C) 4; D) -4; E) 400.

Odgovore na testove možete pronaći na stranici " Odgovori " .

• Koordinate prava linija je prava linija na kojoj je dato pozitivan smjer, porijeklo(tačka O) i jedinični segment.
• Svaka tačka na koordinatnoj liniji odgovara određenom broju, koji se naziva koordinata ove tačke. Na primjer, A(5). Oni glase: tačka A sa koordinatom pet. U 3). Oni glase: tačka B sa koordinatom minus tri.

Primjer 1. Nacrtajte tačke A(-7), B(-3), C(2), D (5) na koordinatnoj liniji.

Nacrtajmo pravu liniju, pokažimo pozitivan smjer strelicom, postavimo tačku O(0) - ishodište i izaberemo jedinični segment od 1 ćelije. Na rezultirajućoj koordinatnoj liniji označite date tačke. Tačka A(-7) nalazi se 7 jediničnih segmenata (7 ćelija) od početka - tačke O lijevo. Označite tačku B(-3) 3 ćelije lijevo od početne točke. Tačka C (2) će se nalaziti 2 ćelije desno od nule, a označiti tačku D (5) 5 ćelija desno od početne tačke.

Primjer 2. Nacrtajte tačke A(-4,5), B(-2), C(2,5) i D (6) na koordinatnoj liniji.

Nacrtajmo koordinatnu liniju i uzmimo 1 ćeliju kao jedinični segment. Od početka odbrojavanja, pomerićemo četiri i po ćelije ulevo i postaviti tačku A. Tačka C će se nalaziti desno od nule na udaljenosti od dve i po ćelije. Označite tačku B 2 ćelije lijevo od tačke O, a tačku D 6 ćelija desno od tačke O.

Primer 3. Nacrtajte brojeve na koordinatnoj liniji: 5; -4; -1; 3; -6; 7. Uporedite koristeći koordinatnu liniju: a) 0 i 5; b) -1 i 7; c) -6 i -4; d) 5 i -6; e) 0 i -6; e) -4 i 3. Izvucite zaključke.

Nakon što odaberete jedinični segment jednak 1 ćeliji, označite brojeve -6, -4 i -1 lijevo od nule, a brojeve 3, 5 i 7 desno od nule. Manje broj se nalazi nalijevo na koordinatnoj liniji, i više je desno.

A) 0<5 ; b) -1<7 ; V) -6<-4 ; G) 5>-6 ; d) 0>-6 ; e) -4<3 .

Nula je veća od bilo kojeg negativnog broja, ali manja od bilo kojeg pozitivnog broja. Svaki negativan broj manji je od bilo kojeg pozitivnog broja.

Stranica 1 od 1 1