Paralelepiped je prizma čije su osnove paralelogrami. U ovom slučaju, sve ivice će biti paralelograma.
Svaki paralelepiped se može posmatrati kao prizma na tri različita načina, pošto se svaka dva suprotna lica mogu uzeti kao baze (na slici 5, lica ABCD i A"B"C"D, ili ABA"B" i CDC"D ", ili BCB "C" i ADA"D").
Predmetno tijelo ima dvanaest ivica, četiri jednake i paralelne jedna s drugom.
Teorema 3 . Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački, poklapajući se sa sredinom svake od njih.
Paralelepiped ABCDA"B"C"D" (slika 5) ima četiri dijagonale AC", BD", CA, DB". Moramo dokazati da se sredine bilo koje dvije od njih, na primjer AC i BD", poklapaju. Ovo proizilazi iz činjenice da je lik ABC"D", koji ima jednake i paralelne stranice AB i C"D", paralelogram.
Definicija 7 . Pravi paralelepiped je paralelepiped koji je ujedno i prava prizma, odnosno paralelepiped čije su bočne ivice okomite na ravan osnove.
Definicija 8 . Pravougaoni paralelepiped je pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik. U ovom slučaju, sva njegova lica bit će pravokutnici.
Pravougaoni paralelepiped je prava prizma, bez obzira koju njegovu stranu uzmemo za osnovu, budući da je svaki njegov rub okomit na rubove koji izlaze iz istog vrha, pa će stoga biti okomit na ravnine definiranih lica po ovim ivicama. Nasuprot tome, ravan, ali ne i pravougaoni, paralelepiped se može posmatrati kao prava prizma na samo jedan način.
Definicija 9 . Dužine tri ivice pravokutnog paralelepipeda, od kojih nijedna dva nisu međusobno paralelna (na primjer, tri ivice koje izlaze iz istog vrha), nazivaju se njegove dimenzije. Dva pravougaona paralelepipeda s odgovarajućim jednakim dimenzijama očito su jednaka jedan drugom.
Definicija 10 .Kocka je pravougaoni paralelepiped čije su sve tri dimenzije jednake jedna drugoj, tako da su sve njene površine kvadrati. Dvije kocke čije su ivice jednake su jednake.
Definicija 11 . Kosi paralelepiped kod kojeg su sve ivice jednake jedna drugoj, a uglovi svih strana jednaki ili komplementarni naziva se romboedar.
Sva lica romboedra su jednaki rombovi. (Neki kristali od velike važnosti imaju oblik romboedra, na primjer, kristali islandskog šparta.) U romboedru možete pronaći vrh (pa čak i dva suprotna vrha) tako da su svi uglovi koji se nalaze uz njega jednaki jedan drugom.
Teorema 4 . Dijagonale pravougaonog paralelepipeda jednake su jedna drugoj. Kvadrat dijagonale jednak je zbroju kvadrata tri dimenzije.
U pravougaonom paralelepipedu ABCDA"B"C"D" (slika 6), dijagonale AC" i BD" su jednake, jer je četvorougao ABC"D" pravougaonik (prava AB je okomita na ravan ECB" C", u kojem se nalazi BC").
Osim toga, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 na osnovu teoreme o kvadratu hipotenuze. Ali na osnovu iste teoreme AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; stoga možemo imati:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

Ili (ekvivalentno) poliedar, koji ima šest lica i svako od njih - paralelogram.

Vrste paralelepipeda

Postoji nekoliko vrsta paralelepipeda:

• Kuboid je paralelepiped čije su sve strane pravougaonici.
• Desni paralelepiped je paralelepiped sa 4 bočne strane koje su pravokutnici.
• Kosi paralelepiped je paralelepiped čije bočne strane nisu okomite na osnovice.

Bitni elementi

Dvije strane paralelepipeda koje nemaju zajedničku ivicu nazivaju se suprotne, a one koje imaju zajedničku ivicu su susjedne. Dva vrha paralelepipeda koji ne pripadaju istom licu nazivaju se suprotnim. Segment koji povezuje suprotne vrhove naziva se dijagonala paralelepipeda. Dužine tri ivice pravougaonog paralelepipeda koje imaju zajednički vrh nazivaju se njegove dimenzije.

Svojstva

• Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
• Svaki segment s krajevima koji pripadaju površini paralelepipeda i koji prolaze kroz sredinu njegove dijagonale podijeljen je na pola; posebno, sve dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i njome se dijele popola.
• Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.
• Kvadrat dijagonalne dužine pravokutnog paralelepipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Osnovne formule

Desni paralelepiped

Bočna površina S b =P o *h, gdje je P o obim baze, h visina

Ukupna površina S p =S b +2S o, gdje je S o površina baze

Volume V=S o *h

Pravougaoni paralelepiped

Bočna površina S b =2c(a+b), gdje su a, b stranice baze, c bočna ivica pravokutnog paralelepipeda

Ukupna površina S p =2(ab+bc+ac)

Volume V=abc, gdje su a, b, c dimenzije pravokutnog paralelepipeda.

Kocka

Površina: $S=6a^2$
Volume: $V=a^3$, Gdje $a$- ivica kocke.

Bilo koji paralelepiped

Volumen i omjeri u nagnutom paralelepipedu se često određuju pomoću vektorske algebre. Zapremina paralelepipeda jednaka je apsolutnoj vrijednosti mješovitog proizvoda tri vektora određenog sa tri strane paralelepipeda koji izlaze iz jednog vrha. Odnos između dužina stranica paralelepipeda i uglova između njih daje tvrdnju da je Gramova determinanta navedena tri vektora jednaka kvadratu njihovog mješovitog proizvoda: 215.

U matematičkoj analizi

U matematičkoj analizi pod n-dimenzionalnim kuboidom $B$ razumiju mnoge tačke $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ tip $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Napišite recenziju o članku "Paralelepiped"

Bilješke

Linkovi

Tačno Tačno nekonveksan Konveksna formule, teoreme, teorije Ostalo

Odlomak koji karakteriše paralelepiped

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Kažu da su se rivali pomirili zahvaljujući ovoj bolesti.]
Reč angine se ponavljala sa velikim zadovoljstvom.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Stari grof je, kažu, vrlo dirljiv. Plakao je kao dijete kad je doktor rekao taj opasan slučaj.]
- Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [Oh, to bi bio veliki gubitak. Tako ljupka žena.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse", reče Ana Pavlovna prilazeći. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde", rekla je Ana Pavlovna sa osmehom na svoj entuzijazam. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Govorite o jadnoj grofici... Poslao sam da saznam za njeno zdravlje. Rekli su mi da se osjeća malo bolje. Oh, bez sumnje, ovo je najljepša žena na svijetu. Mi pripadamo različitim taborima, ali to me ne sprečava da je poštujem prema njenim zaslugama. Ona je tako nesrećna.] – dodala je Ana Pavlovna.
Vjerujući da ovim riječima Anna Pavlovna pomalo podiže veo tajne nad groficinom bolešću, jedan nemarni mladić dozvolio je sebi da izrazi iznenađenje što nisu pozvani poznati doktori, već što groficu liječi šarlatan koji može opasno dati pravni lijekovi.
„Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes“, iznenada je Ana Pavlovna otrovno napala neiskusnog mladića. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Vaše vesti su možda tačnije od mojih... ali iz dobrih izvora znam da je ovaj doktor veoma učena i vešta osoba. Ovo je životni lekar španske kraljice.] - I tako uništivši mladića, Ana Pavlovna se okrenula Bilibinu, koji je u drugom krugu podigao kožu i, očigledno, spremajući je da je olabavi da kaže un mot, progovori o Austrijancima.
"Je trouve que c"est charmant! [Smatram to šarmantnim!]", rekao je o diplomatskom papiru s kojim su austrijske zastave koje je uzeo Vitgenštajn poslate u Beč, le heros de Petropol [heroj Petropola] (kako je on zvao se u Petersburgu).
- Kako, kako je ovo? - Ana Pavlovna se okrenula prema njemu, probudivši tišinu da čuje moto, koji je već znala.
I Bilibin je ponovio sljedeće originalne riječi diplomatske depeše koju je sastavio:
"L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens", rekao je Bilibin, "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Car šalje austrijske zastave, prijateljske i izgubljene zastave koje je pronašao izvan pravog puta.], ” završio je Bilibin, opuštajući kožu.
„Šarmantno, šarmantno, [Lijepo, šarmantno“, reče princ Vasilij.
"C"est la route de Varsovie peut être, [Ovo je varšavski put, možda.] - rekao je princ Hipolit glasno i neočekivano. Svi su mu uzvratili pogled, ne shvatajući šta je time hteo da kaže. Princ Hipolit se takođe osvrnuo sa vedrim iznenađenjem oko sebe, on, kao i drugi, nije razumeo šta znače reči koje je izgovorio tokom svoje diplomatske karijere, više puta je primetio da su ovako izgovorene reči odjednom ispale veoma duhovite. riječi za svaki slučaj, "Možda će to uspjeti", pomislio je, "a ako ne uspije, oni će to zaista moći urediti." zavladala je neugodna tišina, ušlo je to nedovoljno rodoljubivo lice, a ona je, osmehujući se i tresući prstom prema Ipolitu, pozvala kneza Vasilija za sto, i, dajući mu dve sveće i rukopis, zamolila ga da sve utihne .

Pravougaoni paralelepiped

Pravougaoni paralelepiped je pravi paralelepiped kojemu su sve strane pravokutnici.

Dovoljno je pogledati oko sebe, pa ćemo vidjeti da predmeti oko nas imaju oblik sličan paralelepipedu. Mogu se razlikovati po boji, imaju puno dodatnih detalja, ali ako se te suptilnosti odbace, onda možemo reći da, na primjer, ormar, kutija itd., imaju približno isti oblik.

S konceptom pravougaonog paralelepipeda nailazimo skoro svaki dan! Pogledaj oko sebe i reci mi gdje vidiš pravougaone paralelepipede? Pogledajte knjigu, potpuno je istog oblika! Cigla, kutija šibica, blok od drveta imaju isti oblik, a čak se i sada nalazite unutar pravougaonog paralelepipeda, jer je učionica najsjajnija interpretacija ove geometrijske figure.

vježba: Koje primjere paralelepipeda možete navesti?

Pogledajmo izbliza kvadar. I šta vidimo?

Prvo, vidimo da je ova figura formirana od šest pravougaonika, koji su lica kvadra;

Drugo, kvadar ima osam vrhova i dvanaest ivica. Rubovi kvadra su stranice njegovih strana, a vrhovi kvadra su vrhovi lica.

vježba:

1. Kako se zove svako od lica pravougaonog paralelepipeda? 2. Zahvaljujući kojim parametrima se može mjeriti paralelogram? 3. Definirajte suprotna lica.

Vrste paralelepipeda

Ali paralelepipedi nisu samo pravougaoni, već mogu biti i ravni i nagnuti, a prave se dijele na pravokutne, nepravokutne i kocke.

Zadatak: Pogledaj sliku i reci koji su paralelepipedi prikazani na njoj. Po čemu se pravougaoni paralelepiped razlikuje od kocke?

Svojstva pravougaonog paralelepipeda

Pravougaoni paralelepiped ima niz važnih svojstava:

Prvo, kvadrat dijagonale ove geometrijske figure jednak je zbroju kvadrata njegova tri glavna parametra: visine, širine i dužine.

Drugo, sve četiri njegove dijagonale su apsolutno identične.

Treće, ako su sva tri parametra paralelepipeda ista, odnosno, dužina, širina i visina su jednake, onda se takav paralelepiped naziva kocka, a sve će njegove strane biti jednake istom kvadratu.

Vježbajte

1. Da li pravougaoni paralelepiped ima jednake stranice? Ako ih ima, pokažite ih na slici. 2. Od kojih geometrijskih oblika se sastoje lica pravougaonog paralelepipeda? 3. Kakav je raspored jednakih ivica jedna u odnosu na drugu? 4. Navedite broj parova jednakih lica ove figure. 5. Pronađite rubove pravokutnog paralelepipeda koji označavaju njegovu dužinu, širinu, visinu. Koliko ste izbrojali?

Zadatak

Kako bi lijepo ukrasila rođendanski poklon svojoj majci, Tanja je uzela kutiju u obliku pravokutnog paralelepipeda. Veličina ove kutije je 25cm*35cm*45cm. Kako bi ovo pakovanje bilo lijepo, Tanya ga je odlučila prekriti prekrasnim papirom, čija cijena iznosi 3 grivne po 1 dm2. Koliko novca trebate potrošiti na papir za umotavanje?

Znate li da je poznati iluzionista David Blaine proveo 44 dana u staklenom paralelepipedu obješenom iznad Temze u sklopu eksperimenta. Ova 44 dana nije jeo, već je samo pio vodu. U svom dobrovoljnom zatvoru David je uzeo samo materijal za pisanje, jastuk i dušek i maramice.

Za srednjoškolce će biti korisno da nauče kako rješavati zadatke Jedinstvenog državnog ispita za pronalaženje volumena i drugih nepoznatih parametara pravokutnog paralelepipeda. Iskustvo prethodnih godina potvrđuje činjenicu da su ovakvi zadaci prilično teški za mnoge diplomce.

Istovremeno, srednjoškolci s bilo kojim nivoom obuke trebali bi razumjeti kako pronaći volumen ili površinu pravokutnog paralelepipeda. Samo u ovom slučaju moći će da računaju na dobijanje takmičarskih bodova na osnovu rezultata položenog jedinstvenog državnog ispita iz matematike.

Ključne tačke koje treba zapamtiti

• Paralelogrami koji čine paralelepiped su njegove strane, njihove stranice su njegove ivice. Vrhovi ovih figura smatraju se vrhovima samog poliedra.
• Sve dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jednake. Pošto je ovo ravan poliedar, bočne strane su pravokutnici.
• Pošto je paralelepiped prizma sa paralelogramom u osnovi, ova figura ima sva svojstva prizme.
• Bočne ivice pravougaonog paralelepipeda su okomite na osnovu. Dakle, one su njegove visine.

Pripremite se za Jedinstveni državni ispit sa Školkovom!

Kako bi vam časovi bili lakši i što efikasniji, odaberite naš portal matematike. Ovdje ćete pronaći sav potreban materijal koji će vam trebati za pripremu za jedinstveni državni ispit.

Stručnjaci obrazovnog projekta Shkolkovo predlažu da se ide od jednostavnog ka složenom: prvo dajemo teoriju, osnovne formule i elementarne probleme s rješenjima, a zatim postupno prelazimo na zadatke na nivou stručnjaka. Možete vježbati, na primjer, sa .

Potrebne osnovne informacije pronaći ćete u odjeljku „Teorijske informacije“. Također možete odmah početi rješavati probleme na temu "Pravokutni paralelepiped" na mreži. Odjeljak „Katalog“ predstavlja veliki izbor vježbi različitog stepena težine. Baza podataka zadataka se redovno ažurira.

Provjerite možete li sada lako pronaći volumen pravokutnog paralelepipeda. Analizirajte bilo koji zadatak. Ako vam je vježba laka, prijeđite na teže zadatke. A ako se pojave određene poteškoće, preporučujemo da svoj dan isplanirate na način da vaš raspored uključuje nastavu s udaljenim portalom Shkolkovo.

Definicija

Poliedar nazvat ćemo zatvorenu površinu sastavljenu od poligona i koja ograničava određeni dio prostora.

Segmenti koji su stranice ovih poligona nazivaju se rebra poliedar, a sami poligoni su ivice. Vrhovi poligona se nazivaju vrhovi poliedra.

Razmotrićemo samo konveksne poliedre (ovo je poliedar koji se nalazi na jednoj strani svake ravnine koja sadrži njeno lice).

Poligoni koji čine poliedar čine njegovu površinu. Dio prostora koji je omeđen datim poliedrom naziva se njegova unutrašnjost.

Definicija: prizma

Razmotrimo dva jednaka poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) smještena u paralelnim ravninama tako da segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralelno. Poliedar formiran od poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) , kao i od paralelograma \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), naziva se (\(n\)-gonalni) prizma.

Poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) se nazivaju baze prizme, paralelogrami \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– bočne strane, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- bočna rebra.
Dakle, bočne ivice prizme su paralelne i jednake jedna drugoj.

Pogledajmo primjer - prizmu \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), u čijoj osnovi leži konveksni petougao.

Visina prizme su okomite spuštene iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge baze.

Ako bočne ivice nisu okomite na bazu, onda se takva prizma naziva skloni(slika 1), inače – ravno. U pravoj prizmi, bočne ivice su visine, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Ako pravilni mnogokut leži u osnovi ravne prizme, tada se prizma naziva ispravan.

Definicija: koncept volumena

Jedinica za mjerenje zapremine je jedinična kocka (kocka koja mjeri \(1\puta1\put1\) jedinica\(^3\), gdje je jedinica određena mjerna jedinica).

Možemo reći da je volumen poliedra količina prostora koju ovaj poliedar ograničava. Inače: ovo je veličina čija brojčana vrijednost pokazuje koliko puta se jedinična kocka i njeni dijelovi uklapaju u dati poliedar.

Volumen ima ista svojstva kao i površina:

1. Zapremine jednakih figura su jednake.

2. Ako je poliedar sastavljen od nekoliko poliedara koji se ne seku, onda je njegov volumen jednak zbiru zapremina ovih poliedara.

3. Volumen je nenegativna veličina.

4. Zapremina se mjeri u cm\(^3\) (kubnim centimetrima), m\(^3\) (kubnim metrima) itd.

Teorema

1. Površina bočne površine prizme jednaka je proizvodu obima osnove i visine prizme.
Bočna površina je zbir površina bočnih površina prizme.

2. Zapremina prizme jednaka je umnošku površine osnove i visine prizme: \

Definicija: paralelepiped

Paralelepiped je prizma sa paralelogramom u osnovi.

Sve strane paralelepipeda (postoje \(6\) : \(4\) bočne strane i \(2\) baze) su paralelogrami, a suprotne strane (paralelne jedna drugoj) su jednaki paralelogrami (slika 2) .

Dijagonala paralelepipeda je segment koji povezuje dva vrha paralelepipeda koji ne leže na istoj strani (ima ih \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) itd.).

Pravougaoni paralelepiped je pravi paralelepiped sa pravougaonikom u osnovi.
Jer Budući da je ovo pravi paralelepiped, bočne strane su pravokutnici. To znači da su općenito sva lica pravokutnog paralelepipeda pravokutnici.

Sve dijagonale pravokutnog paralelepipeda su jednake (ovo slijedi iz jednakosti trokuta \(\trokut ACC_1=\trokut AA_1C=\trokut BDD_1=\trokut BB_1D\) itd.).

Komentar

Dakle, paralelepiped ima sva svojstva prizme.

Teorema

Bočna površina pravokutnog paralelepipeda je \

Ukupna površina pravougaonog paralelepipeda je \

Teorema

Zapremina kvadra jednaka je umnošku njegove tri ivice koje izlaze iz jednog vrha (tri dimenzije kvadra): \

Dokaz

Jer U pravougaonom paralelepipedu, bočne ivice su okomite na osnovu, tada su i njegove visine, odnosno \(h=AA_1=c\) Jer onda je osnova pravougaonik \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Odatle dolazi ova formula.

Teorema

Dijagonala \(d\) pravokutnog paralelepipeda nalazi se pomoću formule (gdje su \(a,b,c\) dimenzije paralelepipeda) \

Dokaz

Pogledajmo sl. 3. Jer osnova je pravougaonik, tada je \(\trougao ABD\) pravougaonik, dakle, prema Pitagorinoj teoremi \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Jer onda su sve bočne ivice okomite na baze \(BB_1\perp (ABC) \Strelica desno BB_1\) okomito na bilo koju pravu liniju u ovoj ravni, tj. \(BB_1\perp BD\) . To znači da je \(\trougao BB_1D\) pravougaonog oblika. Zatim, po Pitagorinoj teoremi \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definicija: kocka

Kocka je pravougaoni paralelepiped, čija su sva lica jednaka kvadrata.

Dakle, tri dimenzije su jednake jedna drugoj: \(a=b=c\) . Dakle, sljedeće su istinite

Teoreme

1. Zapremina kocke sa ivicom \(a\) jednaka je \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Dijagonala kocke se nalazi pomoću formule \(d=a\sqrt3\) .

3. Ukupna površina kocke \(S_(\text(puna kocka))=6a^2\).